Calcule as integrais que convirjam.

∫ 12 + ∞ d x x x + 4

[Nota: u → + ∞ quando x → + ∞ ]

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 12 + ∞ d x x x + 4

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 12 + ∞ d x x x + 4 = lim a → + ∞ ⁡ ∫ 1 2 a d x x x + 4

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, o limite deve resultar em um valor inteiro.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite através da substituição, teremos:

u = x → x = u 2   e   d u = 1 2 x d x

E:

Quando x = a → u = a

Quando x = 12 → u = 12 = 2 3

Então:

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 12 a d x x x + 4 = lim a → + ∞ ⁡ ∫ 2 3 a 1 u 2 + 4 2 d u = 2 lim a → + ∞ ⁡ ∫ 2 3 a d u u 2 + 4

Resolvendo essa integral pela fórmula 22 da lista de integrais na página 489 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed. - ANTON:

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 12 a d x x x + 4 = 2 lim a → + ∞ ⁡ 1 2 a r c t g u 2 | a 2 3

Ou ainda:

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 12 a d x x x + 4 = lim a → + ∞ ⁡ a r c t g u 2 | a 2 3

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 12 a d x x x + 4 = lim a → + ∞ ⁡ a r c t g a 2 - a r c t g 2 3 2

Logo:

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 12 a d x x x + 4 = π 2 - π 3

∴ lim a → + ∞ ⁡ ∫ 12 a d x x x + 4 = π 6

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente e terá o mesmo valor do resultado do limite.

Resposta

∫ 12 + ∞ d x x x + 4 = π 6

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