Na ausência de amortecimento, o movimento de um sistema mola-massa satifez o problema de valor inicial

(a) Mostre que a energia cinética dada inicialmente à massa é e que a energia potencial armazenada inicialmente na mola é , de modo que a energia total inicial do sistema é .

(b) Resolva o problema de valor inicial dado

(c) Usando a solução do item (b), determine a energia total no sistema em qualquer instante . Seu resultado deve confirmar o príncipio de conservação de energia para este sistema.

Sabendo que temos uma massa oscilando com a ajuda de uma mola, vamos olhar para as condições iniciais e entender o que elas nos diz.

Vamos equacionar o problema com base na ilustração do passo 1

Na qual é a constante da mola, o deslocamento que a mola sofre ao se colocar uma massa presa a ela, é a massa e a aceleração da gravidade.

Seja a Energia Potencial dada por definição

Se a mola deslocou uma distância de seu tamanho original ao colocarmos a massa presa a ela, temos que a energia potencial é dada em por

O mesmo discutiremos para a Energia Cinética, que é dada por definição por

Em temos que como é dado pelo condição inicial, assim temos que a Energia Cinética inicial é

Por fim temos que a energia total é dada pela soma de todas as energia presente no sistema. Entretanto só temos duas energia presente em um sistema massa mola, Potêncial e Cinética, Assim

Agora vamos resolver nosso problema de valor inicial. Existe várias maneiras de resolver nosso problema. Um deles é supor uma solução dada por e tentar achar a raízes do nosso problema.

Seguinte esse procedimento, chegamos na nossa solução característica dada por

Na qual definimos que

Desta forma temos que

Que sugere para gente uma solução

Vamos trabalhar com a segunda forma de escrever nossa solução, que parece ser mais fácil. Assim tome as condições iniciais como

Assim já conseguimos determinar que

E nossa solução geral é

Agora vamos fazer o seguinte, seja

Então

Assim, primeira a energia Potencial

e a energia cinética

Assim temos que a energia Total é dada por

Como lembramos , então

E

Além disso temos que

Assim nossa energia total se transforma em

Ou seja, nossa energia total é contante ao longo do tempo.