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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.7 - Ex. 19

Suponha que o sistema descrito pela equação m s ' ' + γ s ' + k s = 0 tem amortecimento crítico ou está superamortecido. Mostre que a massa pode passar por sua posição de equilíbrio no máximo uma vez, independete das condições iniciais.

Sugestão: Determine todos os valores possíveis de t para os quais s = 0 .

Passo 1

Queremos primeiramente escrever nossa equação diferencial que dever ser a seguinte cara

m s ' ' + γ s ' + k s = 0

O que fazendo s = e r t como solução, nos permite analisar as condições dadas . Lembrando que quando estivermos analisando a equação característica, temos que Δ > 0 (supercrítico), Δ < 0 (subcrítico) e Δ = 0 (crítico) são os tipos de amortecimento.

Passo 2

Suponda a solução s = e r t como informado no passo 1, assim temos que nossa equação característica é dada por

m r 2 + γ r + k = 0

Com solução

r = - γ ± γ 2 - 4 k m 2 m

Passo 3

Se temos um amortecimento crítico, então

γ 2 - 4 k m = 0

Assim temos como solução geral

s = A e - γ t 2 m

E se tivermos um amortecimento supercrítico

γ 2 - 4 k m > 0

Assim

s = B e ( - γ + γ 2 - 4 k m / 2 m ) t +   C e ( - γ - γ 2 - 4 k m / 2 m ) t

Observe que ambas as solução, independente de quais sejam A ,   B e C , nossa solução só passará pela condição de equilíbrio dada em t = 0 uma única vez, tendo que, para todo t > 0 seu valor decaindo até zero.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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