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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 38

Avalie a integral.

int (x^4 + 1)/(x ( x^2 + 1 )^2) d x

Passo 1

Aplicando frações parciais:

(x^4 + 1)/(x ( x^2 + 1 )^2) = (A)/(x) + (B x + C)/(( x^2 + 1 )) + (D x + E)/(( x^2 + 1 )^2)

(x^4 + 1)/(x ( x^2 + 1 )^2) = (A ( x^2 + 1 )^2 + (B x + C) [ x (x^2 + 1) ] + + (D x + E) x)/(x ( x^2 + 1 )^2)

x^4 + 1 = A ( x^2 + 1 )^2 + (B x + C) [ x (x^2 + 1) ] + + (D x + E) x

Fazendo as considerações para valores de x, é possível encontrar os seguintes valores para os coeficientes: A = 1 ; B = 0 ; C = 0 ; D = - 2 , E = 0

Agora substituiremos os valores dos coeficientes nas frações parciais: (x^4 + 1)/(x ( x^2 + 1 )^2) = (1)/(x) - (2 x)/(( x^2 + 1 )^2)

Pronto, agora é só resolver!

Passo 2

Aplicando as frações parciais, descobrimos que:

int (x^4 + 1)/(x ( x^2 + 1 )^2) d x = int (1)/(x) - (2 x)/(( x^2 + 1 )^2) d x

Na primeira parte temos uma integral imediata:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Na segunda integral faremos substituição simples:

int (2 x)/(( x^2 + 1 )^2) d x

u = x^2 + 1 , d u = 2 x d x

int (1)/(u^2) d u = - (1)/(u) + C

Retornando para x:

int (2 x)/(( x^2 + 1 )^2) d x = - (1)/(x^2 + 1) + C

Então temos que:

int (1)/(x) - (2 x)/(( x^2 + 1 )^2) d x = ln |x| - (1)/(x^2 + 1) + C

Moleza né? :P

Resposta

int (x^4 + 1)/(x ( x^2 + 1 )^2) d x = ln |x| - (1)/(x^2 + 1) + C

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