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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 9

Avalie a integral.

int_0^(pi) sin^4 ( 3 t ) d t

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos primeiro organizar a integral:

int_0^(pi) [sin^2 (3 t)]^2 d t

Podemos tornar o seno aplicando sin^2 x + cos^2 x = 1 , da seguinte forma:

int [(1)/(2) (1 - cos 6 t)]^2 d t

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Calculando o produto notável da integral, fica assim:

int_0^(pi) (1)/(4) ( 1 - 2 cos 6 t + cos^2 6 t ) d t

Reorganizando, temos:

(1)/(4) int_0^(pi) [ 1 - 2 cos 6 t + (1)/(2) (1 + cos 12 t )] d t

(1)/(4) int_0^(pi) ( (3)/(2) - 2 cos 6 t + (1)/(2) cos 12 t ) d t

Agora podemos resolver!!

int_0^(pi) sin^4 ( 3 t ) d t = (1)/(4) [ (3)/(2) t - (1)/(3) sin 6 t + (1)/(2 4) sin 12 t ]_0^(pi)

(1)/(4) [ (3)/(2) pi - (1)/(3) sin 6 xx pi + (1)/(24) sin 12 xx pi - ( 0 - (1)/(3) sin 6 xx 0 + (1)/(24) sin 12 xx 0 ) ]

int_0^(pi) sin^4 ( 3 t ) d t = (1)/(4) [ (3)/(2) pi - 0 + 0 - ( 0 - 0 + 0 ) ]

int_0^(pi) sin^4 ( 3 t ) d t = (3)/(8) pi

Finishh!! :)

Resposta

int_0^(pi) sin^4 ( 3 t ) d t = (3)/(8) pi

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