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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 23

Calcule a integral.

int (10)/(( x - 1 ) ( x^2 + 9 )) d x

Passo 1

Galerinha, observe que nessa integral, temos uma constsnte, então:

int (10)/(( x - 1 ) ( x^2 + 9 )) d x = 10 int (1)/(( x - 1 ) ( x^2 + 9 )) d x

Para o integrando (1)/(( x - 1 ) ( x^2 + 9 )) , vamos usar frações parciais:

10 int ((- x - 1)/(10 (x^2 + 9)) + (1)/(10 (x - 1))) d x

integrando a soma por termo a termo e “tirar para fora” as constantes:

= int (- x - 1)/(x^2 + 9) d x + int (1)/(x - 1) d x

Expandindo a integral (- x - 1)/(x^2 + 9) , temos:

= int - (x)/(x^2 + 9) - (1)/(x^2 + 9) d x + int (1)/(x - 1) d x

integrando a soma por termo a termo e “tirar para fora” as constantes:

= - int (x)/(x^2 + 9) d x - int (1)/(x^2 + 9) d x + int (1)/(x - 1) d x

Passo 2

Para o termo (x)/(x^2 + 9) , vamos usar a regrinha da substituição:

seja u = x^2 + 9 , derivando temos que d u = 2 x d x , logo:

= - (1)/(2) int (1)/(u) d u - int (1)/(x^2 + 9) d x + int (1)/(x - 1) d x

A integral de (1)/(u) é ln ( u ) :

= - (ln (u))/(2) - int (1)/(x^2 + 9) d x + int (1)/(x - 1) d x

Fatorando 9 no denominador:

- (ln (u))/(2) - int (1)/(9 ((x^2)/(9) + 1)) d x + int (1)/(x - 1) d x

Colocando para fora as constantes:

- (ln (u))/(2) - (1)/(9) int (1)/(((x^2)/(9) + 1)) d x + int (1)/(x - 1) d x

Para o termo (1)/(((x^2)/(9) + 1)) , vamos usar a regrinha da substituição:

seja s = (x)/(3) , então d s = (1)/(3) d y , logo:

- (ln (u))/(2) - (1)/(3) int (1)/((s^2 + 1)) d s + int (1)/(x - 1) d x

A integral de (1)/((s^2 + 1)) é tan^(- 1) ( s ) :

= - (1)/(3) tan^(- 1) (s) - (ln (u))/(2) + int (1)/(x - 1) d x

Passo 3

Para a integral (1)/(x - 1) d x , vamos usar a regrinha da substituição também:

seja p = x - 1 , então d p = d y , logo:

= - (1)/(3) tan^(- 1) (s) - (ln (u))/(2) + int (1)/(p) d p

A integral de (1)/(p) é ln ( p ) :

ln ( p ) - (1)/(3) tan^(- 1) (s) - (ln (u))/(2) + C

Não podemos esquecer de adicionar a constante.

Passo 4

Substituindo de volta para p = x - 1 :

ln ( x - 1 ) - (1)/(3) tan^(- 1) (s) - (ln (u))/(2) + C

Substituindo de volta para s = (x)/(3) :

ln ( x - 1 ) - (1)/(3) tan^(- 1) ((x)/(3)) - (ln (u))/(2) + C

E por ultimo, substituindo de volta para u = x^2 + 9 :

ln ( x - 1 ) - (1)/(3) tan^(- 1) ((x)/(3)) - (ln (x^2 + 9))/(2) + C

Resposta

ln ( x - 1 ) - (1)/(3) tan^(- 1) ((x)/(3)) - (ln (x^2 + 9))/(2) + C

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