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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 36

Primeiro faça uma substituição e então use a integração por partes para avaliar a integral.

∫ x 5 e x 2 d x

Passo 1

Esse problema precisa de calma e paciência! Vamos tentar resolve-lo da forma mais simples, pois ele demanda muitas integrações por partes, então só precisamos nos lembrar de três coisas: método da substituição, integrais e derivadas!

Inicialmente vamos fazer uma substituição, onde

t = x 2                         ;               1 2 d t = x d x

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ x 5 e x 2 d x = ∫ ( x 2 ) 2 x e x 2 d x = 1 2 ∫ t 2 e t d t

Agora sim!! Usando integral por partes:

u = t 2                     ;                 d u = 2 t   d t

d v = e t   d t                   ;                       v = e t

Aplicando na integral, temos:

1 2 ∫ t 2 e t d t = t 2 e t - 2 ∫ t   e t d t

Passo 3

Resolvendo por outra integral por partes...

u = t                     ;                 d u = d t

d v = e t   d t                   ;                       v = e t

Vamos ter:

∫ t   e t d t = t e t - ∫ e t   d t

∫ t   e t d t = t e t - e t

Agora unimos as expressões:

1 2 ∫ t 2 e t d t = t 2 e t - 2 t e t + 2 e t + C

Passando o 1 2 para o segundo membro, o nosso resultado será:

∫ x 5 e x 2 d x = t 2 e t 2 - t e t + e t + C

Prontinho!!

Resposta

∫ x 5 e x 2 d x = t 2 e t 2 - t e t + e t + C

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