Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 26

Avalie a integral.

int (x^2 - x + 6)/(x^3 + 3 x) d x

Passo 1

Primeiramente, vamos tornar o termo do denominador redutível para aplicar frações parciais:

(x^2 - x + 6)/(x ( x^2 + 3 ))

Aplicando frações parciais:

(x^2 - x + 6)/(x ( x^2 + 3 )) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 3)

(x^2 - x + 6)/(x ( x^2 + 3 )) = (A (x^2 + 3) + ( B x + C ) x)/(x (x^2 + 3))

x^2 - x + 6 = A (x^2 + 3) + B x^2 + C x

Considerando x = 0, o termo de B irá zerar e será possível calcular o valor de A:

( 0 )^2 - 0 + 6 = A (0^2 + 3) + B ( 0 ) 2 C(0)

6 = 3 A

A = 2

Considerando agora x = 1 e o valor encontrado para A, temos que:

( 1 )^2 - 1 + 6 = 2 (1^2 + 3) + B ( 1 )^2 + C ( 1 )

- 2 = B + C

Considerando x = 2:

( 2 )^2 - 2 + 6 = 2 (2^2 + 3) + B ( 2 )^2 + C ( 2 )

- 6 = 4 B + 2 C

Agora vamos resolver o sistema:

{[[B + C = - 2],[4 B + 2 C = - 6]])

Multiplicando B + C = - 2 por (-2) vamos obter que:

{[[- 2 B - 2 C = 4],[4 B + 2 C = - 6]])

Resolvendo o sistema:

2 B = - 2

B = - 1

Substituindo o valor de B na primeira equação do sistema:

- 1 + C = - 2

C = - 1

Agora substituiremos os valores dos coeficientes nas frações parciais:

(x^2 - x + 6)/(x ( x^2 + 3 )) = (2)/(x) - (x - 1)/(x^2 + 3)

Pronto, agora é só resolver!

Passo 2

Aplicando as frações parciais, descobrimos que:

int (x^2 - x + 6)/(x ( x^2 + 3 )) d x = int (2)/(x) - (x - 1)/(x^2 + 3) d x

Na primeira integral temos que:

int (2)/(x) d x = 2 ln |x| + C

Na segunda integral faremos substituição simples:

int (x)/(x^2 + 3) d x

u = x^2 + 3 ,

d u = 2 x d x -> (d u)/(2) = x d x

int [[(1)/(u) (d u)/(2) = (1)/(2)],[]] [[int [[(1)/(u) d u = (1)/(2) ln |u| + C],[]]],[]]

Retornando para x:

int (x)/(x^2 + 3) d x = (1)/(2) ln |x^2 + 3| + C

Na terceira integral temos que:

int (1)/(x^2 + 3) d x = (a r c t a n ( (x)/(sqrt(3)) ))/(sqrt(3)) + C

Então temos que:

int (2)/(x) - (x - 1)/(x^2 + 3) d x = 2 ln |x| - (1)/(2) ln |x^2 + 3| - (a r c t a n ( (x)/(sqrt(3)) ))/(sqrt(3)) + C

Moleza né? :P

Resposta

int (x^2 - x + 6)/(x^3 + 3 x) d x = 2 ln |x| - (1)/(2) ln |x^2 + 3| - (a r c t a n ( (x)/(sqrt(3)) ))/(sqrt(3)) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ 2 3 1 x 2 - 1 d x
Calcule a integral. ∫ 1 x + a x + b d x
Calcule a integral: ∫ 1 2 4 y 2 - 7 y - 12 y y + 2 y - 3 d y
Calcule a integral. ∫ 0 1 x - 1 x 2 + 3 x + 2 d x
Calcule a integral. ∫ 0 1 x 3 - 4 x - 10 x 2 - x - 6 d x