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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 15

Avalie a integral.

int_0^1 (2 x + 3)/(( x + 1 )^2) d x

Passo 1

James Stewart foi super legal com a gente e já deu a integral apenas no ponto de aplicarmos frações parciais. Como temos o termo ( x + 1 ) elevado ao quadrado devemos aplicar a regra de frações parciais com termos elevado a “n”:

(2 x + 3)/(( x + 1 )^2) = (A)/(( x + 1 )) + (B)/(( x + 1 )^2)

Agora vamos encontrar os valores numéricos dos coeficientes. Basta tirarmos o mínimo entre os termos:

(2 x + 3)/(( x + 1 )^2) = (A (x + 1) + B)/(( x + 1 )^2)

2 x + 3 = A (x + 1) + B

Para resolver esta expressão, basta substituirmos qualquer valor desejado para x. Nesses casos de resolução de frações parciais, devemos sempre procurar substituir um valor que zere algum dos termos tornando uma equação simples. Para nossa questão, consideraremos x = -1, o que a partir disso irá zerar o termo de A, ficando apenas B:

2 (- 1) + 3 = B

B = 1

Substituindo um novo valor para x (consideraremos ele como 1) e o valor de B encontrado, descobriremos que o valor de A será:

2 ( 1 ) + 3 = A (1 + 1) + 1

A = 2

Agora vamos substituir os valores nas frações parciais:

(2 x + 3)/(( x + 1 )^2) = (2)/(( x + 1 )) + (1)/(( x + 1 )^2)

Pronto! Agora vamos calcular a integral com as funções mais simples:

Passo 2

Aplicando as frações parciais, descobrimos que:

int_0^1 (2 x + 3)/(( x + 1 )^2) d x = int_0^1 (2)/(( x + 1 )) + (1)/(( x + 1 )^2) d x

Na primeira integral faremos substituição simples:

u = x + 1 :

2 int (1)/(u) d u = 2 ln |u| + C

Retornando para x:

int (2)/(( x + 1 )) d x = 2 ln |x + 1| + C

Na segunda integral também faremos substituição simples:

int (1)/(( x + 1 )^2) d x

u = x + 1

int (1)/(u^2) d u = - (1)/(u) + C

Retornando para x:

int (1)/(( x + 1 )^2) d x = (1)/(x + 1) + C

Então temos que:

int_0^1 (2)/(( x + 1 )) - (1)/(( x + 1 )^2) d x = ( 2 ln |x + 1| - (1)/(x + 1) ) (1)/(0)

Substituindo os intervalos de integração:

(2 ln |1 + 1| - (1)/(1 + 1)) - (2 ln |0 + 1| - (1)/(0 + 1)) = 2 ln |2| + (1)/(2)

Fácil, não é? :D

Resposta

int_0^1 (2 x + 3)/(( x + 1 )^2) d x = 2 ln |2| + (1)/(2)

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