Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 2

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região.

y = 1 - x 2 ,   y = 0 ; e m   t o r n o   d o   e i x o   x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as seguintes curvas

y = 1 - x 2 ,   y = 0

E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas acima! Depois disso temos que esboçar a região!

Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema. Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas.

Para y = 1 - x 2 , teremos uma curva com parábola para baixo devido ao sinal negativo do coeficiente angular; passa por 1 no eixo y pelo coeficiente linear. Como y = 0 , então

A região delimitada é essa que está em verdinho!

Passo 2

A área é calculada por:

A = π r 2

Mas aqui o raio vai variar de acordo com a curva y = 1 - x 2 , então:

A x = π 1 - x 2 2

Pra acharmos o volume a gente integra essa área:

V = ∫ a b A ( x ) d x

V = ∫ a b �� 1 - x 2 2 d x

Os limites de integração a e b são os pontos de intersecção entre y = 1 - x 2 e y = 0 :

1 - x 2 = 0

x = ± 1

Então ficamos com:

V = ∫ - 1 1 π 1 - x 2 2 d x

V = π ∫ - 1 1 1 - 2 x 2 + x 4 d x

Agora é só calcularmos a integral:

V = π x - 2 x 3 3 + x 5 5 1 - 1

Aplicamos os limites de integração:

= π 1 - 2 × 1 3 3 + 1 5 5 - - 1 - 2 × - 1 3 3 + - 1 5 5

= π 1 - 2 3 + 1 5 - - 1 + 2 3 - 1 5

= π 1 - 2 3 + 1 5 - - 8 15

= π 1 - 2 3 + 1 5 + 8 15

Chegamos em:

V = 16 15 π

Passo 3

Agora vamos desenhar a região obtida:

Prontinho!

Resposta

V = 16 15 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido S descrito. Um cone circular reto com altura h e raio da base r .
Encontre o volume do sólido S descrito. Um tronco de cone circular reto de altura h , raio da base inferior R e raio da base superior r .
Um modelo para a forma do ovo de um pássaro é obtido girando, em torno do eixo x , a região sob o gráfico de f x = a x 3 + b x 2 + c x + d ) 1 - x 2 Use um SCA para encontrar o volume deste ovo.Para u
Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados y = sin ⁡ x , y = cos ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π 4 , e mt o r n od ey = 1
Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados y = sec ⁡ x , y = cos ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π 3 , e mt o r n od ey = - 1