Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.2 - Ex. 2
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região.
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as seguintes curvas
E pede pra a gente calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada pelas curvas acima! Depois disso temos que esboçar a região!
Antes de qualquer coisa a gente precisa conseguir visualizar o problema. Então vamos esboçar o gráfico das curvas dadas.
Para , teremos uma curva com parábola para baixo devido ao sinal negativo do coeficiente angular; passa por no eixo pelo coeficiente linear. Como , então
A região delimitada é essa que está em verdinho!
Passo 2
A área é calculada por:
Mas aqui o raio vai variar de acordo com a curva , então:
Pra acharmos o volume a gente integra essa área:
Os limites de integração e são os pontos de intersecção entre e :
Então ficamos com:
Agora é só calcularmos a integral:
Aplicamos os limites de integração:
Chegamos em:
Passo 3
Agora vamos desenhar a região obtida:
Prontinho!