Enunciado

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral

∫ π / 2 π 2 cotg ⁡ θ 3   d θ

Passo 1

Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se g ' for contínua no intervalo a , b e f fr contínua na imagem de g x = u , então

∫ a b f g x ⋅ g ' x   d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u )   d u

A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função u = g ( x ) para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!

Vamos optar por resolver a integral indefinida primeiramente. Após obtermos a primitiva da função, basta substituir os limites de integração conforme o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Observe que o valor dentro da função cotangente é θ / 3 . Vamos começar por transformar essa razão em uma única variável x . Portanto, temos x = θ / 3 . Consequentemente, 3 ⋅ d x = d θ . Realizando esta mudança, vamos obter a seguinte integral indefinida:

∫ 2   c o t g θ 3   d θ = ∫ 6   c o t g ( x )   d x  

Passo 3

Agora, vamos reescrever a nossa função c o t g ( x ) como função de senos e cossenos. Temos então:

∫ π / 4 π / 2 6 cotg ⁡ x   d x = ∫ π / 4 π / 2 6 cos ⁡ ( x ) sen ⁡ ( x )   d x

Se fizermos u = s e n ( x ) , temos que d u = cos ⁡ ( x )   d x . Se analisarmos apenas a integral indefinida, temos:

∫ 6 cos ⁡ x sen ⁡ ( x )   d x   = ∫ 6 u   d u  

Logo, obtemos uma função facilmente integrável.

Passo 4

Agora que obtemos uma f ( u ) facilmente integrável, podemos calcular a nossa integral. Portanto, temos:

∫ 6 u   d u   = 6 ln ⁡ u + k

Muita calma nessa hora! Não podemos esquecer da constante k , já que a integral que foi resolvida é uma integral indefinida. Vamos voltar para a nossa variável x . Temos então:

6 ln ⁡ u + k = 6 ln ⁡ s e n x + k

E voltando para a variável θ , temos:

6 ln ⁡ s e n x + k = 6 ln ⁡ s e n θ 3 + k

Passo 5

Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante k ! Portanto, temos:

∫ π / 2 π 2 cotg ⁡ θ 3   d θ = 6 ln ⁡ s e n θ 3 π 2 π

∫ π / 2 π 2 cotg ⁡ θ 3   d θ = 6 ln ⁡ s e n π 3 - 6 ln ⁡ s e n π 6

∫ π / 2 π 2 cotg ⁡ θ 3   d θ = 6 ln ⁡ 3 2 - 6 ln ⁡ 1 2

∫ π / 2 π 2 cotg ⁡ θ 3   d θ = ln ⁡ 3 2 6 - ln ⁡ 1 2 6

∫ π / 2 π 2 cotg ⁡ θ 3   d θ = ln ⁡ 3 6   2 6 1 2 6 = ln ⁡ 3 3 = 3 ln ⁡ 3

Logo,

∫ π / 2 π 2 cotg ⁡ θ 3   d θ = 3 ln ⁡ 3

Resposta

∫ π / 2 π 2 cotg ⁡ θ 3   d θ = 3 ln ⁡ 3

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