Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.

f(x) = x^3 - x^2 - 6x + 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que verifiquemos se a seguinte função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado.

Mas quais hipóteses são essas??? Bom, as três hipóteses são:

  • f é contínua em a , b .
  • f é derivável em ( a . b ) .
  • f a = f ( b )

Depois, temos que encontrar todos os números c   que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.

Vamos testar então, e depois encontrar um c tal que f ' c = 0 .

😉

Passo 2

Bom, a função f ( x ) é um polinômio, portanto, não apresenta restrições.

Sendo assim, ela é sempre contínua e derivável. E então, é contínua em [0,3] e derivável em ( 0,3 ) . As duas primeiras hipóteses então estão satisfeitas.

Vamos para a última:

f a = f 0 = 0 3 - 0 2 - 6 0 + 2 ∴

f 0 = 2

E

f b = f 3 = 3 3 - 3 2 - 6 3 + 2 ∴

f 3 = 27 - 9 - 18 + 2 ∴

f 3 = 2

Então, f a = f ( b ) e a terceira condição também está satisfeita.

Passo 3

Então, pelo teorema, existe c tal que f ' c = 0 , vamos calcular então:

Derivando a função, temos:

f ' x =   3 x 2 - 2 x - 6

Igualando a zero:

  3 c 2 - 2 c - 6 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, chegamos que

c = 2 + 76 6           o u         2 - 76 6

Maaasss repare que, no nosso intervalo de 0 a 3 , apenas o:

c = 2 + 76 6 ≈ 1,79

Está dentro.

Logo, só usaremos esse valor aqui. Já que:

2 - 76 6 ≈ - 1,12

Não pertence ao nosso intervalo, beleza?

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

c = 2 + 76 6

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