Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 63
Avalie a integral definida.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema temos que calcular a integral definida dada por:
Parece complicado?
Quando temos uma integral definida onde temos que integrar uma função em um intervalo , a primeira coisa a se fazer é analisar o domínio da função ...
Se for contínua em todo o intervalo e não possuir nenhuma assíntota nesse intervalo, podemos seguir para o cálculo da integral. Mas se for descontínua e possuir uma assíntota em um ponto , onde podemos afirmar que a integral de no intervalo diverge.
Se nesse caso, a primeira opção for válida, podemos imaginar que calcular a integral dessa função vai ser muito difícil.
Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:
Esse método consiste em substituir parte da função por uma variavel e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.
- Substituir parte da função por .
- Derivar em relação a para obter e isolar em um lado da igualdade.
- Substituir e na integral.
- Substituir os limites de integração de em para obter os limites de integração em .
- Calcular a integral!
Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Nossa integral é dada por:
E nossa função de integração é:
Se observarmos o domínio da função podemos perceber que ela só apresenta uma descontinuidade para o valor de .
Como nosso intervalo de integração não engloba esse ponto, podemos calcular a nossa integral definida sem problema algum.
Show?
Passo 3
Sendo assim, podemos chamar a função dentro da raiz de , ou seja:
Derivando em relação a e isolando em um lado da igualdade:
Como mudamos a variável de integração mudaremos também os intervalos de integração.
Quando , temos:
Quando :
Com isso, substituindo , e os limites de integração na integral, vamos obter:
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Agora para resolver essa integral basta aplicarmos a regra da potência.
Ou seja:
Aplicando os limites de integração:
Portanto, voltando para , concluímos que:
E aí! o que achou? Responde Aí!