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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 56

Avalie a integral definida.

∫ 0 3 d x 5 x + 1 .

Passo 1

E aí, galera! Bora resolver essa questão 😊?

Nessa questão, precisamos calcular o valor da integral definida

∫ 0 3 1 5 x + 1   d x .

Primeiro, precisamos saber se essa integral pode ser calculada. Ou seja, se o integrando é uma função contínua, definida no intervalo 0 ,   3 .

Geralmente elas vão ser contínuas nos respectivos intervalos, mas é sempre bom ficar atento porque seu professor pode gostar de uma pegadinha 🤣.

Para isso, vamos utilizar a Regra da Substituição e transformar essa integral em uma outra beeeeem mais fácil de calcular.

Uma vez que sabemos que podemos calculá-la, vamos utilizar a Regra da Substituição para transformar essa integral aparentemente complicada em uma outra beeeeem mais fácil.

🤔 Como usamos essa Regra nessa questão?

Bem, precisamos escolher um termo do integrando

1 5 x + 1

e substituí-lo por uma nova variável u . A sacada pra essa escolha é pensar em um termo cuja derivada em relação à variável x também apareça no integrando, beleza?

Uma dica seria olhar para o integrando e pensar: “o que se a gente removesse daqui iria simplificar pra integrarmos?” Um palpite seria escolhermos

u = 5 x + 1 ,

pois

d u d x = 5 → d u = 5   d x ,

então teríamos que

1 5 x + 1   d x = 1 u d u 5 ,

que é bem mais fácil de calcular pois conhecemos uma fórmula para a integral de f u = 1 u , certo?

Na prática, vamos fazer a seguinte transformação na integral dada:

∫ 0 3 f g x g ' x d x =   ∫ g 0 g 3 f u   d u ,

onde

u = g x .

👀 Então, fique ligado! Vamos precisar:

  • Verificar se o integrando

    • 1 5 x + 1

    é contínuo e está definido no intervalo de integração 0 ,   3 .

  • Fazer a mudança de variável u = g x adequada para conseguimos reescrevermos a integral dada como uma integral mais simples.
  • Calcular a integral mais simples

∫ g 0 g ( 3 ) f u   d u

e obter a resposta para a questão!

Observe que não retornamos à variável x após a integração, pois vamos calcular a expressão em u já no intervalo apropriado g 0 ,   g 3 .

Parece complicado né? Mas esse é um tipo de cálculo que requer prática, te garanto que depois de alguns exercícios você vai tá voando na escolha do u e no processo de substituição 😉.

Já temos tudo o que precisamos, agora vamos colocar a mão na massa 💪!

Passo 2

Vamos começar verificando se o integrando

h x = 1 5 x + 1

é uma função contínua, definida no intervalo de integração 0 ,   3 .

Observe que h é uma função racional, cujo numerador consiste na função constante 1 e o denominador consiste na função polinomial 5 x + 1 .

Como o numerador e o denominador são compostos por funções definidas em todo R , então a função h também é definida em todo R ,   e contínua em todo o seu domínio. Logo, ela é definida e contínua no intervalo de integração 0 , 3 .

Dessa forma, podemos calcular a integral definida

∫ 0 3 d x 5 x + 1 .

Passo 3

Analisando com calma o integrando da integral

∫ 0 3 1 5 x + 1 d x ,

observamos que definindo

f x = 1 x

e

u = g x =   5 x + 1 ,

então

f g x = 1 5 x + 1 .  

Além disso, derivando u em relação à variável x , temos que

d u d x = g ' x = 5 ,

ou seja,

d u = 5   d x .

Logo, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ 0 3 f g x g ' x   d x =   ∫ 0 3 1 5 x + 1 ⋅   5   d x =   5 ∫ 0 3 1 5 x + 1 d x ,

ou seja, temos que a integral do enunciado é dada por

∫ 0 3 1 5 x + 1 d x = 1 5 ∫ 0 3 f g x g ' x   d x .

Sendo assim, pela Regra da Substituição podemos reescrevê-la da seguinte forma:

∫ 0 3 1 5 x + 1 d x = 1 5 ∫ g 0 g 3 f u   d u ,

onde

g 0 = 5 0 + 1 = 1

e

g 3 = 5 ( 3 ) + 1 = 16 .

Portanto, temos que

1 5 ∫ g 0 g 3 f u   d u = 1 5 ∫ 1 16 1 u   d u ,

ou seja, descobrimos que

∫ 0 3 1 5 x + 1 d x =   1 5 ∫ 1 16 1 u   d u ,  

com u =   5 x + 1 .

Mas observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular né? Vamos fazer isso no próximo passo 😉!

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral rescrita na forma mais simples:

1 5 ∫ 1 16 1 u   d u .

Como pela Regra da Potência e pelo Teorema Fundamental do Cálculo vale que

1 5 ∫ 1 16 1 u d u = 1 5   ⋅ ln ⁡ | u | 1 16 ,

então avaliando ln ⁡ | u | nos extremos do intervalo de integração, temos que:

  • Em u = 16

    • ln ⁡ | u | = l n ⁡ | 16 | = 4 ln ⁡ 2 .

  • Em u = 1

ln ⁡ | u | = ln ⁡ 1 = 0 .

Então,

1 5   ⋅ ln ⁡ u 1 16 = 1 5 ⋅ 4 ln ⁡ 2 - 0

e vale que

1 5 ∫ 1 16 1 u   d u =   1 5   ⋅ ln ⁡ | u | 1 16 = 4 ln ⁡ 2 5 .  

Logo, como

∫ 0 3 1 5 x + 1 d x = 1 5 ∫ 1 16 d u u

e

1 5 ∫ 1 16 1 u   d u = 4 ln ⁡ 2 5 ,

então a integral procurada vale

∫ 0 3 1 5 x + 1 d x = 4 ln ⁡ 2 5 .

Resposta

O valor da integral é:

∫ 0 3 1 5 x + 1 d x = 4 ln ⁡ 2 5 .

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