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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 1q

1.Calcule.

int (3 x)/([[5 + 6 x^2]]) d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos 5 + 6 x^2 de u :

5 + 6 x^2 = u

Derivaremos cada membro da equação abaixo:

12 x d x = d u

Isolando x d x , temos:

x d x = (d u)/(12)

Passo 2

Temos todos os “integrantes “ da integral em função de u, agora podemos substituir as variáveis para termos a integral em função de u:

int (3 x)/([[5 + 6 x^2]]) d x = int (3)/(u) (d u)/(12) = int (d u)/(4 u)

Colocando o a fração (1)/(4) na frente da integral, por ser uma constante, temos:

int (3 x)/([[5 + 6 x^2]]) d x = int (d u)/(4 u) = (1)/(4) int (d u)/(u)

Passo 3

Lembrando que a integral de int (1)/(u) d u = ln [[| u | + c]] , teremos que:

(1)/(4) int (1)/(u) d u = (1)/(4) ln [[| u | + c]]

E por fim, substituiremos u por 5 + 6 x^2 para obtermos a resposta:

Resposta

int (3 x)/([[5 + 6 x^2]]) d x = (1)/(4) ln | 5 + 6 x^2 | + c

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