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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 73

Avalie a integral definida.

∫ 0 1 d x 1 + x 4

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral definida dada por:

∫ 0 1 d x 1 + x 4

Parece complicado?

Quando temos uma integral definida onde temos que integrar uma função f x em um intervalo a , b , a primeira coisa a se fazer é analisar o domínio da função f ...

  • Se f for contínua e definida em todo o intervalo a , b , podemos seguir para o cálculo da integral.
  • Mas se f tiver uma singularidade (uma indefinição) em um ponto x = c , que pertence ao intervalo a , b podemos afirmar que a integral de f diverge.

Se nesse caso, a primeira opção for válida, podemos imaginar que calcular a integral dessa função vai ser muito difícil. Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:

Esse método consiste em substituir parte da função f x por uma variavel u e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.

∫ f x d x → ∫ g u d u

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Substituir os limites de integração de x em u para obter os limites de integração em u .
  • Calcular a integral!

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa integral é dada por:

∫ 0 1 d x 1 + x 4

E nossa função de integração é:

f x = 1 1 + x 4

Analisando a função f , vemos que ela é definida para todo x ≥ 0 . Como nosso intervalo de integração é 0,1 , nossa função f é integrável nesse intervalo.

Bora lá!

Passo 3

Podemos chamar o que está dentro da potência de u .

u = 1 + x

Derivando e isolando d x em um lado da igualdade:

d u d x = 1 2 x → d x = 2 x d u

Temos que substituir também os limites de integração:

Quando x = 0 .

u = 1 + 0 = 1

Quando x = 1 .

u = 1 + 1 = 2

Substituindo u , d x e os limites de integração na nossa integral, temos:

∫ 0 1 d x 1 + x 4 → ∫ 1 2 1 u 4 2 x d u

Ainda temos um x na nossa integral... então vamos voltar para a equação de u .

u = 1 + x → x = u - 1

Substituindo na integral:

∫ 1 2 1 u 4 2 u - 1 d u

2 ∫ 1 2 u - 1 u 4 d u

2 ∫ 1 2 u - 3 - u - 4 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Viu só? Conseguimos transformar aquela integral extremamente dificil em uma integral relativamente mais simples...

Para resolvê-la, vamos aplicar a regra da potência.

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Ou seja:

2 ∫ u - 3 - u - 4 d u = 2 u - 3 + 1 - 3 + 1 - u - 4 + 1 - 4 + 1 + C

2 ∫ u - 3 - u - 4 d u = 2 u - 2 - 2 - u - 3 - 3 + C

2 ∫ u - 3 - u - 4 d u = - 1 u 2 + 2 3 u 3 + C

Aplicando os limites de integração...

2 ∫ 1 2 u - 3 - u - 4 d u = - 1 2 2 + 2 3 2 3 + C - - 1 1 2 + 2 3 1 3 + C

2 ∫ 1 2 u - 3 - u - 4 d u = 1 6

Portanto, voltando para a integral do enunciado...

∫ 0 1 d x 1 + x 4 = 1 6

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 0 1 d x 1 + x 4 = 1 6

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