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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 34

Determine o valor exato de ∬ S x 2 y z   d S , onde S é a superfície z = x y , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

E aêeee, gente! Tudo belezinha? 😊

Nessa questão, precisamos calcular

∬ S x 2 y z   d S

Quando S é uma superfície definida por

z = x y

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Gente, pra resolver temos que relembrar que d S é um diferencial de superfície que pode ser escrito como essa fórmula aqui:

d S = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d A

E que nossa integral pode ser resumida da seguinte forma

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f x , y , g x , y ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d A

Passo 2

Antes de jogar tudo dentro da fórmula, vamos fazer as derivadas parciais de z em relação a x e a y .

∂ z ∂ x x y → y

∂ z ∂ y x y → x

Logo,

y 2 + x 2 + 1   d A

Assim, podemos reescrever nossa integral da seguinte forma, já com os limites de integração dados no enunciado:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 y x y ⏟ z y 2 + x 2 + 1 d x d y

Organizando melhor,

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 3 y 2 y 2 + x 2 + 1 d x d y

Usando um sistema de computação algébrico temos que nossa integral é definida em

1 60 3 - 1 12 l n l n   1 + 3 - 1 192 l n l n   2 + 1 + 317 2880 2 + 1 24 l n l n   2      

Ou melhor,

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 3 y 2 y 2 + x 2 + 1 d x d y ≈ 0.1251

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 3 y 2 y 2 + x 2 + 1 d x d y ≈ 0.1251

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