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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 49

Seja F → um campo inverso do quadrado, ou seja F → r = c r → / | r → | ³ para alguma constante c , onde r = x i → + y j → + z k → . Mostre que o fluxo de F → por uma esfera S com centro na origem é independente do raio de S .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra calcular o fluxo Φ vamos relembrar como é a fórmula:

Φ = ∬ S F → ⋅ d S →

Então, aqui temos de considerar uma esfera de raio a centrada na origem. Precisamos primeiro parametrizar a região e usar essas novas variáveis nas outras quantidades. Já estamos carecas de saber que uma parametrização possível é

x = a s e n ϕ c o s θ y = a s e n ϕ s e n θ z = a c o s ϕ

Sendo assim, o vetor r → é:

r → = a s e n ϕ c o s θ i → + a s e n ϕ s e n θ j → + a c o s ϕ k →

E as derivadas parciais r → ϕ e r → θ são:

r → ϕ = a c o s ϕ c o s θ i → + a c o s ϕ c o s θ j → - a s e n ϕ k →

r → θ = - a s e n ϕ s e n θ i → + a s e n ϕ c o s θ j →

E o produto vetorial entre eles é:

r → ϕ × r → θ = i → j → k → a c o s ϕ c o s θ a c o s ϕ s e n θ - a s e n ϕ - a s e n ϕ s e n θ a s e n ϕ c o s θ 0 = a 2 s e n 2 ϕ c o s θ i → + a 2 s e n 2 ϕ s e n θ j → + ( a 2 s e n ϕ c o s ϕ ) k →

E o vetor F → em termos dessas coordenadas é:

F → = c r → r → 3 = c a 3 . ( a s e n ϕ c o s θ , a s e n ϕ s e n θ , a c o s ϕ )

Vamos agora fazer o produto escalar entre F → e r → ϕ × r → θ :

F → ⋅ r → ϕ × r → θ = a s e n ϕ s e n θ i → + a s e n ϕ c o s θ j → + a c o s ϕ k → ⋅ a 2 s e n 2 ϕ c o s θ i → + a 2 s e n 2 ϕ s e n θ j → + a 2 s e n ϕ c o s ϕ k → = c a 3 [ a 3 s e n 3 ϕ + a 3 s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ ] = c   s e n 3 ϕ + c   s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ

E simplificando mais um pouco temos:

F → ⋅ r → ϕ × r → θ = c   s e n ϕ s e n 2 ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = c   s e n ϕ

Passo 2

Beleza! Agora que já temos r → ϕ × r → θ ,   F → ( ϕ , θ ) e seu produto escalar, precisamos determinar d A e jogar na integral! O diferencial de área vai ser d A = d ϕ d θ entre os limites:

0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ θ ≤ 2 π

Pronto! Agora vamos colocar tudo na integral:

Φ = ∬ S F → ⋅ ( r → ϕ × r → θ ) d A

Φ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π c   s e n ϕ d ϕ d θ = c ∫ 0 2 π - c o s ϕ 0 π   d θ = c   ∫ 0 2 π - - 1 - 1 d θ = 2 c ∫ 0 2 π d θ = 2 c . 2 π = 4 c π

E podemos ver que o fluxo Φ independe do raio a da esfera!

Resposta

Φ = 4 c π

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