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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 23

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de   S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F → x , y , z = x y i ^ + y z j ^ + x z k ^

S é a parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do quadrado 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , e com orientação ascendente.

Passo 1

Fala, galera! 😊

Precisamos encontrar o fluxo desse campo vetorial F aqui:

F → x , y , z = x y i ^ + y z j ^ + x z k ^

Através da região S definida por parte do paraboloide

z = 4 - x 2 - y 2

Que está acima do quadrado

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Com orientação ascendente.

Gente, estamos diante de uma integral de superfície. Com isso, temos parametrizações a serem feitas, principalmente que

z = g ( x , y )

E a fórmula que usaremos é essa daqui, ó:

∬ S F ⋅ d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A  

Passo 2

Primeiro, quem é P ,   Q   e R ?

Vamos olhar nosso campo do enunciado:

F → x , y , z = x y ⏟ P i ^ + y z ⏟ Q j ^ + x z ⏟ R k ^

Mas lembra que

z = g x , y = 4 - x 2 - y 2

Que é a parte do paraboloide do enunciado.

Com isso, vamos fazer as derivadas parciais de g em relação a x e y , segundo a fórmula:

∂ g ∂ x 4 - x 2 - y 2 = - 2 x

∂ g ∂ y 4 - x 2 - y 2 = - 2 y

Como estamos trabalhando com uma integral, vamos começar olhando a região de integração. No plano x y é um quadrado de lado 1 , então:

d A = d x d y 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1

Com isso, jogando tudo na fórmula, teremos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y - 2 x - y z - 2 y + x z d A

Organizando o integrando, teremos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x 2 y + 2 y 2 z + x z   d x d y

Mas quem é z ? Então:

∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x 2 y + 2 y 2 ( 4 - x 2 - y 2 ) + x ( 4 - x 2 - y 2 )   d x d y

Ou melhor...

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 2 x 2 y + 8 y 2 - 2 y 2 x 2 - 2 y 4 + 4 x - x 3 - x y 2 ) d y d x

Passo 3

Temos nossa integral para resolver, agora:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 2 x 2 y + 8 y 2 - 2 y 2 x 2 - 2 y 4 + 4 x - x 3 - x y 2 ) d y d x

Considerando x como constante, vamos integrar primeiro em y :

∫ 0 1 2 x 2 y 2 2 + 8 y 3 3 - 2 y 3 x 2 3 - 2 y 5 5 + 4 x y - x 3 y - x y 3 3 0 1 d x

Aplicando os limites de integração, ficaremos com essa nova integral:

∫ 0 1 x 2 + 8 3 - 2 x 2 3 - 2 5 + 4 x - x 3 - x 3   d x

E juntando os semelhantes:

∫ 0 1 x 2 3 + 11 3 x - x 3 + 34 15 d x

Resolvendo, teremos

x 3 9 + 11 6 x 2 - x 4 4 + 34 x 15 0 1

E por fim, aplicando novamente os limites:

1 9 + 11 6 - 1 4 + 34 15 = 20 + 330 - 45 + 408 180 = 713 180

Moleza! 😉

Resposta

713 180

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