Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 21
a) Calcule , onde é o sólido limitado pelo elipsoide . Utilize a transformação , , .
b) A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por um elipsoide com e . Use o item (a) para estimar o volume da Terra.
c) Se o sólido do item (a) tiver densidade constante k, encontre seu momento de inércia em relação ao eixo z.
Passo 1
Fala, gênio dos números! Pronto para resolver essa parada? Bora lá!
O problema envolve calcular , onde é o sólido limitado pelo elipsoide
Este elipsoide tem semieixos , , e ao longo dos eixos , respectivamente. A equação descreve a relação entre os pontos no espaço que pertencem ao sólido.
Passo 2
(a) A transformação sugerida , , mapeia o elipsoide para uma esfera com raio , . Os limites de integração para são:
Outro ponto que devemos lembrar que pela transformação, nossa integral se transforma da seguinte forma:
Onde é o jacobino.
A jacobiana da transformação é . Assim, a integral se transforma em:
Passo 3
(b) Com e , vamos calcular o volume aproximando da Terra usando
Substituindo os valores de , , :
Passo 4
(c) Para o momento de inércia do sólido é definido como:
Para um sólido com densidade constante , podemos escrever o momento de inércia como:
Onde é o elemento de volume do sólido e .
Para calcular o momento de inércia usando coordenadas esféricas, fazemos a transformação:
Onde é o raio esférico, é o ângulo azimutal e é o ângulo de inclinação (colatitute).
O jacobiano da transformação para coordenadas esféricas é dado por:
A integral para o momento de inércia em coordenadas esféricas é então:
=
Como :
Resposta
(a)
(b)
(c)