Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 17
Use uma integral dupla para encontrar a área da região:
A região dentro do círculo e fora do círculo .
Passo 1
Show de bola ein meu amigo, veja que temos dois círculos que se interseccionam em dois pontos criando uma região que deve ser calculada. Então precisaremos encontrar esses pontos e escrever as funções desses círculos em relação as variáveis que serão utilizadas na integral. É claro que tudo será mais fácil se utilizarmos as coordenadas polares.
Passo 2
O nosso primeiro passo é visualizar as nossas figuras para podermos compreender como deve ser a região de integração. Para isto, precisamos esboça-los. Portanto,
Para podermos esboçar os limites de integração, precisamos passar ambas as curvas para coordenadas polares. A circunferência de centro na origem é expressa por: . Agora, vamos desenvolver a outra circunferência. Portanto,
Como sabemos que a equação da circunferência é:
Ou seja, sabemos que:
Pela transformação em coordenadas polares
Então:
Simplificando:
Vamos trazer novamente a imagem das duas curvas:
As curvas vermelha e azul se interceptam no ponto em que:
Passo 3
Agora que a gente conseguiu compreender a nossa região e obter as curvas em coordenadas polares, podemos determinar os limites da nossa integral dupla. O valor do raio vai variar da curva mais interna até a curva mais externa. Portanto,
Agora, para determinarmos os valores do ângulo , precisamos igualar as duas curvas. Sendo assim, temos:
Portanto, , o que implica que varia de A até B, pontos destacados no desenho da região. Agora que definimos a região, vamos montar a nossa integral.
Passo 4
Agora, podemos partir para a integração. Portanto,
Aplicando os limites de integração teremos:
Pelas propriedades trigonométricas, temos que:
Então:
Integrando em relação a .
Aplicando os intervalos.