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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 3

Calcule ∬ S F ⋅ n d s   nos exercícios abaixo:

F ( x , y , z ) = ( x , y , x z ) e S   é a superfície do sólido W , onde W = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 , com vetor normal n   exterior.

Passo 1

Bom galera, o exercício nos pede para calcular ∬ S F ⋅ n d s e nos dá as informações de que F ( x , y , z ) = ( x , y , x z ) e que

S   : superfície do sólido W ,

com vetor normal n exterior.

W = x , y , z x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1

Nosso φ t , θ será:

φ t , θ = ( t cos ⁡ θ , t   s e n   θ , t )

Logo, o intervalo de convergência é dado por:

0 ≤ t ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π  

Derivando, temos que:

x t = t x ' t = 1

z t = t z ' t = 1

E, portanto:

N φ t , θ = t - cos ⁡ θ ,   - s e n   θ ,   1 = ( - t cos ⁡ θ ,   - t   s e n   θ ,   t )

Passo 2

Já podemos montar nossa integral:

∬ S F ⋅ n d s = ∬ D f ( φ x , y ⋅ N ( φ x , y d x d y

⇒ ∬ D f ( φ x , y ⋅ N ( φ x , y d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( t s e n   θ , t , t 2 cos ⁡ θ ) ⋅ - t cos ⁡ θ ,   - t   s e n   θ ,   t d t d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( - t 2   s e n θ cos ⁡ θ - t 2   s e n θ + t 3 cos ⁡ θ )   d t d θ

Passo 3

Resolvendo a integral de dentro:

∫ 0 2 π t 3 3   s e n θ cos ⁡ θ - t 3 3 s e n   θ + t 4 4 cos ⁡ θ 0 1 d θ = 1 2 ∫ 0 2 π ( - 2 s e n θ cos ⁡ θ + cos ⁡ θ )     d θ  

Passo 4

Agora, resolvendo a integral de fora usando substituição:

Seja u = s e n   θ , então d u = cos ⁡ θ   d θ :

1 2 ∫ 0 2 π ( - 2 s e n θ cos ⁡ θ + cos ⁡ θ )     d θ   = 1 2   - s e n 2 θ 2 + cos ⁡ θ - s e n   θ 0 2 π = 1 2   ⋅ 1 - 1 = 0

Resposta

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