Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.13 - Ex. 6
Calcular
Onde S é a superfície exterior da semi-esfera
Passo 1
Sabemos que nosso g é
E que nossa função de densidade é
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de g
Felizmente podemos substituir essa expressão pela da esfera
Assim fica
Passo 3
Agora que já fizemos todas as partes pequenas, Vamos unir isso tudo na nossa integral
Vamos projetar essa cúpula no plano XY, usando a equação
Assim nossa integral fica
Passo 4
Vamos calcular em coordenadas polares Já que estamos com uma região circular. Lembrando que para mudar as coordenadas temos a seguinte regra
Assim nossa integração fica
A melhor parte é que integrando no intervalo é 0. A regra é geral para todo , sendo impar. Logo não precisamos nos preocupar com essas funções
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )