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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.13 - Ex. 6

Calcular

I =   ∫ ∫ S x 2 d y d z + y 2 d z d x + z 2 d x d y    

Onde S é a superfície exterior da semi-esfera

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ,   z ≥ 0

Passo 1

ϕ =   ∫ ∫ S f x , y , z * ∇ → g ∇ → g   d A    

Sabemos que nosso g é

g   :     x 2 + y 2 + z 2 - a 2 = 0

E que nossa função de densidade é

f = x 2 ,   y ² ,   z 2

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de g

∇ → g = 2 x , 2 y , 2 z

∇ → g = 4   x 2 + y 2 + z 2

Felizmente podemos substituir essa expressão pela da esfera

x 2 + y 2 + z 2 - a 2 = 0

Assim ∇ → g   fica

∇ → g = 4   a 2

∇ → g = 2 a

Passo 3

Agora que já fizemos todas as partes pequenas, Vamos unir isso tudo na nossa integral

∫ ∫ S f x , y , z * ∇ → g ∇ → g   d A    

∫ ∫ S x 2 ,   y ² ,   z 2 * 2 x , 2 y , 2 z 2 a   d A    

1 a ∫ ∫ S x 3 + y 3 + z 3 d A    

Vamos projetar essa cúpula no plano XY, usando a equação

x 2 + y 2 + z 2 - a 2 = 0

z = a 2 - x 2 - y 2

Assim nossa integral fica

1 a ∫ ∫ S x 3 + y 3 + a 2 - x 2 - y 2 3 d A    

Passo 4

Vamos calcular em coordenadas polares Já que estamos com uma região circular. Lembrando que para mudar as coordenadas temos a seguinte regra

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

Assim nossa integração fica

1 a ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3 cos 3 ⁡ θ + r 3 s e n 3 θ + a 2 - r 2 3   r d r d θ

A melhor parte é que cos 3 ⁡ θ   e   s e n 3 θ     integrando no intervalo θ ∈ 0,2 π é 0. A regra é geral para todo cos n ⁡ θ   e   s e n n θ     , sendo n   impar. Logo não precisamos nos preocupar com essas funções

2 π a ∫ 0 2 a 2 - r 2 3   r d r

= 2 π a - 1 5 a 2 - r 2 5 2 r = 0 2  

= 2 π a - a 2 - 4 5 2 - a 5   5

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

I =   ∫ ∫ S x 2 d y d z + y 2 d z d x + z 2 d x d y     =   2 π a - a 2 - 4 5 2 - a 5   5  

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