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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 55

Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada em um ponto especificado pelo valor de θ .

r = 2 c o s θ ,     θ = π / 3

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

A gente tem a curva polar dada pela equação:

r = 2 c o s θ

E a gente quer encontrar a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto:

θ = π 3

A inclinação da reta tangente é dada por:

d y d x = d r d θ sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ

Então a ente vai precisar derivar nossa função em relação a θ e depois disso vamos precisar substituir o valor π 3 na equação que iremos encontrar.

Passo 2

Vamos derivar a equação dada para encontrarmos d r / d θ .

d r d θ = - 2 s e n θ

No ponto que nos foi dado, o valor de r é igual a:

r = 2 cos ⁡ π 3 = 2 1 2 = 1

Passo 3

Usando o método para encontrar a inclinação de curvas parametrizadas, temos:

d y d x = d y d θ d x d θ = d r d θ s e n θ + r c o s θ d r d θ c o s θ - r s e n θ

d y d x = - 2 s e n θ s e n θ + 1 c o s θ - 2 s e n θ c o s θ - 1 s e n θ

d y d x = - 2 s e n 2 θ + c o s θ - 2 s e n θ c o s θ - s e n θ

Passo 4

Vamos aplicar o valor do ângulo que nos foi dado no enunciado. Assim, com θ = π 3 , a inclinação da reta tangente é:

d y d x = - 2 s e n 2 π 3 + cos ⁡ π 3 - 2 s e n π 3 cos ⁡ π 3 - s e n π 3

Colocando os valores dos senos e cossenos:

d y d x = - 2 3 2 2 + 1 2 - 2 3 3 ⋅ 1 2 - 3 2

Realizando as simplificações:

d y d x = - 2 3 4 + 1 2 - 3 2 - 3 2

Agora realizando o mmc:

d y d x = - 3 2 + 1 2 - 2 3 2

d y d x = - 2 2 - 3

Organizando a divisão de frações:

d y d x = 1 3

Resposta

A inclinação da reta é igual a:

d y d x = 1 3

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A figura mostra o gráfico de r como uma função de θ em coordenadas cartesianas. Use-o para esboçar a curva polar correspondente.
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A figura mostra o gráfico de r como uma função de θ em coordenadas cartesianas. Use-o para esboçar a curva polar correspondente.
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Mostre que a curva r = 2 - cossec ⁡ θ (também uma conchoide) tem a reta y = - 1 como uma assíntota horizontal mostrando que lim r → ± ∞ ⁡ y = - 1 . Use esse fato para ajudar a esboçar a conchoide.