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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.13 - Ex. 2 - d

Seja T a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x + y + z = 4 . Calcular

I =   ∫ ∫ S y z d y d z + x z d z d x + x y d x d y =    

Onde

  1. S é a face da frente de T
  2. S é a face de T que esta no plano xz
  3. S é face de T que esta no plano yz
  4. S é face de T que esta no plano xy
  5. Some os resultados dos itens acima e interprete fisicamente

Passo 1

Estamos trabalhando com varias superfícies aqui. Temos todos os planos coordenados e esse plano x + y + z = 4 . Que podemos ver abaixo

Passo 2

  1. S é a face de T que esta no plano xy

Nossa função é

f = y z , x z , x y

E nossa superfície é o plano XY, logo

g : z = 0

Nossa integral tem a seguinte estrutura

I =   ∫ ∫ S f * n   d S = ∫ ∫ S f x , y , z * ∇ → g | ∇ → g |   d S        

E se conseguirmos projetar essa superfície me algum dos planos coordenados – por exemplo o XY – temos que

∫ ∫ S f x , y , z ( x , y ) * ∇ g | ∇ g |   d x d y    

Passo 3

Vamos calcular nossa função normal

n → = ∇ → g | ∇ → g |  

Sabemos que g : z = 0

Logo calcular o gradiente de g não é tao complicado. ( Pra quem ainda se perde um pouco ∇ → é o operador Gradiente e tem a seguinte forma ∇ → = d d x , d d y , d d z , logo obtemos um vetor quando aplicamos o gradiente. Agora o operador ∇ → . Se chama Divergente e tem a seguinte forma ∇ →   .   = d d x , d d y , d d z .   OU seja fazemos um produto de vetores o que nos retorna um escalar. Isso é importante porque o significado Físico de Gradiente e Divergente são completamente diferente. Gradiente é o vetor de incremento da nossa superfície, ou função. Já Divergente está ligado a fluxo – Fontes ou Sumidouros de Campos Vetoriais. Pensando em fluidos – o gradiente diria a direção para onde um rio está correndo, o divergente diria onde está a nascente do rio )

∇ → g = 0,0 , 1

Assim o modulo do gradiente é

| ∇ → g | = 1

Vamos retornar a nossa integração

∫ ∫ S f x , y , z ( x , y ) * ∇ g | ∇ g |   d x d y    

= ∫ ∫ S   y z , x z , x y * 0,0 , 1 1 d x d y    

∫ ∫ S   y z , x z , x y * 0,0 , 1 1 d x d y    

= ∫ ∫ S x y d x d y    

Agora vamos escolher nossos intervalos de integração

Para escolher os intervalos de integração basta olhar para o gráfico

Se olharmos para o eixo y de baixo para cima. Nossa superfície começa em y = 0 e sempre para na reta y + x = 4 . Assim nosso intervalo de integração é esse

0 < y < 4 - x

E para x nos reta um intervalo numérico

0 < x < 4

∫ 0 4 ∫ 0 4 - x x y   d y d x

Agora é apenas trabalho braçal de integrar

∫ 0 4 ∫ 0 4 - x x y   d y d x = 32 3

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ 0 4 ∫ 0 4 - x x y   d y d x = 32 3

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