Avalie a integral de superfície ∬ F . d S para o campo vetorial F e a superfície S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva. F x , y , z = x i + y j + z 2 k S é a esfera de raio 1 e centro na origem.

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 25

Avalie a integral de superfície para o campo vetorial e a superfície . Em outras palavras, localize o fluxo de através de . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

é a esfera de raio e centro na origem.

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo bem com vocês!?

Precisamos determinar o fluxo de através de .

é a esfera de raio e centro na origem.

Uma maneira de calcular a integral de superfície é:

Onde é o vetor unitário normal e .

O fluxo através da superfície é definido somente se a superfície for orientável. Note que se a superfície é orientável, terão dois vetores normais em todos os pontos. Podemos escrever assim:

Para encontrar o fluxo nós sempre usamos que corresponde a orientação positiva.

Onde representa a derivada parcial de em relação e em relação a .

Uma observação, estamos chamando genericamente de e , mas poderia ser outras variáveis. Como estamos trabalhando em coordenadas esféricas vamos chamar de:

A primeira coisa que vamos fazer é passar para coordenadas esféricas! Assim, a superfície é dada por:

Onde , .

Assim, o campo vetorial pode ser reescrito como:

Agora ficou moleza ein, é só substituir na integral e resolver!

Vamos nessa!

Passo 2

Precisamos agora encontrar o valor de !

Primeiro vamos calcular as derivas parciais de .

Vimos que as parametrizações em coordenadas esféricas são:

Logo, podemos escrever como:

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

Observe que apenas fizemos as derivadas de cada termo em relação as variáveis de interesse na derivação.

Assim, nosso produto vetorial pode ser expresso como:

Aplicando o determinante para resolver esse produto vetorial, vamos ter a seguinte resposta:

Passo 3

Agora podemos escrever nossa integral:

Vimos que é:

Substituindo os termos na integral, ficamos com:

Logo, resolvendo o produto escalar entre os vetores vamos ter:

Para simplificar um pouco, vamos utilizar a relação trigonométrica:

Assim, ficamos com:

Passo 4

Vimos também que os intervalos para essas coordenadas esféricas são:

Assim a integral fica:

Vamos fazer uma substituição do tipo:

Ficando com a seguinte integral:

Para facilitar nossa vida, vamos separar essa integral, assim:

Na segunda integral, vamos fazer uma substituição do tipo:

E na terceira integral, a seguinte substituição:

Substituindo na integral, temos:

Integrando tudo e voltando as variáveis , vamos ter:

Passo 5

Agora, aplicando os limites de integração, vamos ficar com:

Repare, que apenas fomos simplificando as contas acima.

Agora precisamos integrar em . Integrando, vamos ter:

Aplicando os limites de integração, temos como resposta:

Resposta

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