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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 5

Calcule ∬ S F ⋅ n d s   nos exercícios abaixo:

F ( x , y , z ) = ( z 2 - x , - x y , 3 z ) e S   é a superfície do sólido limitado por z = 4 - y 2 , x = 0 , x = 3   e o plano x y , com vetor normal n exterior.

Passo 1

Bom galera, o exercício nos pede para calcular ∬ S F ⋅ n d s e nos dá as informações de que F ( x , y , z ) = ) = ( z 2 - x , - x y , 3 z ) e que

S   : sólido limitado por z = 4 - y 2 , x = 0 , x = 3   e o plano x y ,

com vetor normal n exterior.

Nós temos:

S 1 : z = 4 - y 2 - 2 < - y ≤ 2

S 2 : x = 0   - 2 ≤ y ≤ 2

S 3 = x = 3 - 2 ≤ y ≤ 2

S 4 = z = 0   - 2 ≤ y ≤ 2

S = S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 ∪ S 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas superfícies.

Passo 2

S 1 : Nós vamos olhar para o plano x y

ϕ 1 x , y = x , y , 4 - y 2

Com intervalo de integração - 2 ≤ y ≤ 2 0 ≤ x ≤ 3   .

E

N x , y = 0,2 y , 1

E então montar a nossa integral:

∬ S 1 F ⋅ n d s = ∫ - 2 2 ∫ 0 3 ( 4 - y 2 - x , - x y ,   3 ( 4 - y 2 ) ) ⋅ ( 0,2 y , 1 )   d x d y = ∫ - 2 2 ∫ 0 3 - 2 x y 2 + 12 - 3 y ^ 2   d x d y = ∫ - 2 2 - x 2 y 2 + 12 x - 3 x y 2 0 3   d y = ∫ - 2 2 - 9 y 2 + 36 - 9 y 2   d y = ∫ - 2 2 - 18 y 2 + 36   d y = - 18 ⋅ 2   ∫ - 2 2 y 2 - 2   d y = - 36 ⋅ y 3 3 - 2 y 0 2 = - 36 ⋅ 8 3 - 4 13 = 36 ⋅ - 4 3 = 48

Passo 3

S 2 : Nós vamos olhar para o plano y z

ϕ 2 y , z = 0 , y , z

Com intervalo de integração - 2 ≤ y ≤ 2 0 ≤ z ≤ 4 - y 2   .

E

N y , z = - 1,0 , 0

E então montar a nossa integral:

∬ S 2 F ⋅ n d s = ∫ - 2 2 ∫ 0 4 - y 2 z 2 , 0,3 z ⋅ ( - 1,0 , 0 ) d z d y = ∫ - 2 2 ∫ 0 4 - y 2 - z 2 d z d y = - ∫ - 2 2 z 3 3 0 4 - y 2 d y = - 1 3 ∫ - 2 2 64 - 48 y 2   d y = - 2 3 64 y - 16 y 3 + 12 y 5 5 - 7 y 7 - 2 2 = - 2 3 ⋅ 2048 35 = - 4096 105 .

Passo 4

S 3 : Nós vamos olhar para o plano z y

ϕ 3 z , y = 3 , y , z

Com intervalo de integração - 2 ≤ y ≤ 2 0 ≤ z ≤ 4 - y 2   .

E

N z , y = 1,0 , 0

E então montar a nossa integral:

∬ S 3 F ⋅ n d s = ∫ - 2 2 ∫ 0 4 - y 2 z 2 - 3 , - 3 y , 3 z ⋅ ( 1,0 , 0 )   d z d y = ∫ - 2 2 ∫ 0 4 - y 2 z 2 - 3   d z d y = ∫ - 2 2 z 3 3 0 4 - y 2 = ∫ - 2 2 4 - y 2 3 3 - 3 4 - y 2 d y = ∫ - 2 2 64 - 48 y 2 + 12 y 4 - y 6 3 - 12 - 3 y 2 1 3 d y = 1 3 ∫ - 2 2 28 - 39 y 2 + 12 y 4 - y 6 d y = 2 3 28 y - 13 y 3 + 12 y 5 5 - y 7 7 - 2 2 = 2 3 56 - 104 + 384 5 - 128 7 = 2 3 - 1680 + 2688 - 640 35 = 736 105

Passo 5

S 4 : Nós vamos olhar para o plano x y

ϕ 4 x , y = x , y , 0

Com intervalo de integração - 2 ≤ y ≤ 2 0 ≤ x ≤ 3   .

E

N x , y = 0,0 , - 1

E então montar a nossa integral:

∬ S 4 F ⋅ n d s = ∫ - 2 2 ∫ 0 3 ( - x , - x y , 0 ) ⋅ 0,0 , - 1   d x d y = 0

Passo 6

Pronto, agora vamos somar todas as nossas integrais de superfície:

∬ S F ⋅ n d s = ∬ S 1 F ⋅ n d s + ∬ S 2 F ⋅ n d s + ∬ S 3 F ⋅ n d s + ∬ S 4 F ⋅ n d s

⇒ ∬ S F ⋅ n d s = 48 - 4096 105 + 736 105 + 0 = 48 - 32 = 16

Resposta

16

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