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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.13 - Ex. 1

1 . prove que

  1. Se a superficie S é dada na forma explicita por y = y   x , z ,   x , z ∈ R '   , onde R’ é a projeção sobre o plano xz e n denota a normal unitária de S com a componente y não negativa, obtemos

    2. ∫ ∫ S f → *   n →   d S =     ∫ ∫ S f 1 d y d z + f 2 d z d x + f 3 d x d y =     ∫ ∫ R " ( - f 1 d y d x   + f 2 + f 3 d y d x   )       d x d z  

  2. De maneira análoga , se S é dada por x = x   y , z ,     y , z ∈ R "   onde R’’ é a projeção sobre o plano yz e n denota a normal unitária de S com a componente y não negativa, obtemos

∫ ∫ S f → *   n →   d S =     ∫ ∫ S f 1 d y d z + f 2 d z d x + f 3 d x d y =     ∫ ∫ R " ( f 1   + f 2 d x d z   + f 3 d x d z   )       d y d z  

Passo 1

Os dois exercícios A e B, apresentam a mesma metodologia. Então resolverei apenas A). certo? 😉

Nos temos essa função f → que pode ser expressada como

f →   x , y , z = ( f 1 ,   f 2 ,   f 3 )

E nossa superfície S pode ser parametrizada ( uma hipótese ) em

r → u , v = x u , v ,     y u , v ,     z ( u , v )

Uma parametrização bem genérica. Quando formos integrar temos que

∫ ∫ S f → *   n →   d S =     ∫ ∫ S f → r u , v r u   x   r v   d S  

Passo 2

Agora só nos resta fazer o rotacional de r u   e   r v

r u   x   r v = ∂ y , z ∂ u , v , ∂ z , x ∂ u , v , ∂ x , y ∂ u , v

Assim quando fizermos o produto dos vetores teremos

∫ ∫ S f → r u , v r u   x   r v   d S  

= ∫ ∫ S ( f 1   r → u , v ,   f 2   r → u , v , f 3   r → u , v ) ∂ y , z ∂ u , v , ∂ z , x ∂ u , v , ∂ x , y ∂ u , v   d u d v    

= ∫ ∫ S ( f 1   r → u , v ∂ y , z ∂ u , v +   f 2   r → u , v ∂ z , x ∂ u , v + f 3 (   r → u , v ) ∂ x , y ∂ u , v   d u d v        

E essa equação é a definição de mudança de variável. Logo podemos voltar a usar a notação cartesiana

= ∫ ∫ S f 1 d y d z + f 2 d z d x + f 3 d x d y      

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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