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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 1

Calcule ∬ S F ⋅ n d s   nos exercícios abaixo:

F ( x , y , z ) = ( x , y , - 2 z ) e S   é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , com vetor normal n exterior.

Passo 1

Bom galera, o exercício nos pede para calcular ∬ S F ⋅ n d s e nos dá as informações de que F ( x , y , z ) = ( x , y , - 2 z ) e que

S   : é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4

com vetor normal n exterior.

Passo 2

Assim, para montar nossa integral, precisamos encontrar os termos que irá compo-la:

∬ S F ⋅ n d s = ∬ D F ( φ u , v ⋅ N u , v d u d v  

( φ u , v = ( 2   s e n   φ cos ⁡ θ ,   2   s e n   φ   s e n   θ ,   e cos ⁡ φ )

Com intervalo de integração de: 0 ≤ θ 2 π 0 ≤ φ ≤ π .

Derivando, temos que:

x y = 2   s e n   φ x ' φ = 2 cos ⁡ φ

z φ = 2 cos ⁡ φ z ' φ = - 2 s e n   φ

E

N φ , θ = 2   s e n   φ ( 2   s e n   φ cos ⁡ θ ,   2   s e n   φ   s e n   θ ,   2 cos ⁡ φ ) = ( 4   s e n 2   φ cos ⁡ θ ,   4   s e n 2 \ v a r p h o   s e n   θ ,   4   s e n   φ cos ⁡ φ )  

Passo 3

E agora, podemos montar nossa integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2   s e n   φ cos ⁡ θ ,   2   s e n   φ   s e n   θ ,   e cos ⁡ φ ⋅ ( 4   s e n 2   φ cos ⁡ θ ,   4   s e n 2 φ   s e n   θ ,   4   s e n   φ cos ⁡ φ )   d φ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 8   s e n 3 φ cos 2 ⁡ θ + 8   s e n 3 φ   s e n 2 θ = 16   s e n   φ cos 2 ⁡ φ   d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 8   s e n 3 φ - 16   s e n   φ cos 2 ⁡ φ d ϕ d θ

Nota: 8   s e n 3 φ = 8 s e n φ   ( 1 - cos 2 ⁡ φ ) = 8 s e n φ - 8 s e n φ cos 2 ⁡ φ .

= ∫ 0 2 π ∫ 0 π 8   s e n φ - 24   s e n   φ cos 2 ⁡ φ d ϕ d θ

Passo 4

Vamos resolver a integral de dentro primeiro. Precisamos fazer uma substituição aqui: seja u = cos ⁡ φ , assim d u = s e n   φ d φ .

∫ 0 2 π - 8 cos ⁡ φ 0 π + 24   cos 3 ⁡ φ 3 0 π d θ = ∫ 0 2 π 8 + 8 - 24 3 - 24 3 d θ = ∫ 0 2 π 0 d θ

E então resolvendo a integral de dentro:

∫ 0 2 π 0 d θ = 0

Resposta

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