Um balão mantém a forma de uma esfera enquanto está sendo inflado. Ache a taxa de variação da área da superfície com respeito ao raio no instante em que o raio for 2 m.

Passo 1

Como foi dito no enunciado, o balão cresce no formato de uma esfera, sabemos que a área da esfera é dada por:

A r = 4 π r 2

Achar a taxa de variação neste caso é ver como a área está variando em função de um determinado valor de raio que no caso vale 2 m.

O cálculo da taxa variação pode ser feito derivando a função A em função de r, já que a derivada de uma função em um certo ponto nos dá o quão rápido ou quão devagar a função está crescendo ou decrescendo nesse ponto.

Passo 2

Derivando a função A(r):

A r = 4 π r 2

A ' r = 8 π r

Passo 3

Substituindo r=2 em A’(r):

A ' r = 8 π r

                                  A ' 2 = 8 π ⋅ 2 = 16 π

Resposta

Assim a taxa de variação da área do balão é 16π cm² por unidade de raio.

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