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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 21

Nos exercícios de 17 a 30, calcule a derivada indicada.

21 .     d d x s e n ( x ) 1 - c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Usaremos a regra do quociente para derivar a função.

Regra do quociente:

d d x f x g x =   d d x f x ⋅ g ( x ) - d d x g x ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

Derivando:

d d x s e n x 1 - c o s x =   d d x s e n x ⋅ ( 1 - c o s x ) - d d x 1 - c o s x ⋅ s e n x 1 - c o s x 2

                                                                  =   c o s x ⋅ ( 1 - c o s x ) - s e n x ⋅ s e n x 1 - c o s x 2

                                                                  = c o s x - c o s ² x - s e n ² x 1 - c o s x 2

                                                                  = c o s x - ( c o s 2 x + s e n 2 x ) 1 - c o s x 2

Passo 3

Para simplificar o termo acima vamos analisar seu denominador 1 - c o s x 2 , abrindo essa conta:

1 - c o s x 2 = 1 - 2 c o s x + cos 2 ⁡ x

Agora se invertermos os termos do parêntese para ficar da forma:

c o s x - 1 2

Abrindo esse novo termo temos:

c o s x - 1 2 = cos 2 ⁡ x - 2 c o s x + 1

Podemos então perceber que:

c o s x - 1 2 = 1 - c o s x 2

Fazendo essa troca em nossa expressão final da derivada ficamos com

                                                                  = c o s x - ( c o s 2 x + s e n 2 x ) c o s x - 1 2

                                                                  = c o s x - 1 c o s x - 1 2

                                                                  = 1 c o s x - 1

Resposta

d d x s e n ( x ) 1 - c o s ⁡ ( x ) =   1 c o s ⁡ ( x ) - 1

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