Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 47
- Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência .
- Isso também é verdadeiro para um campo de força , onde é uma contante e ?
Passo 1
Oi, galera! tudo bem?
Nossa questão tem duas partes: a parte a) pede pra mostramos que um campo de força constante tem seu trabalho quando dá uma volta completa na circunferência . Para mostramos isso, vamos calcular o trabalho pela integral de linha:
Na curva , que é a nossa circunferência.
E a parte b) da nossa questão pergunta se também para o campo
Onde é constante e .
Para isso vamos calcular novamente o trabalho pela integral de linha, sendo nossa função força
Vamos ver como fica isso!
Passo 2
- Pra mostrar o que se pede na letra vamos primeiro parametrizar a curva , que é uma circunferência de raio . Essa parametrização é:
- Vou usar a mesma parametrização, já que a curva é a mesma! Resgatando lá do passo temos:
E o vetor posição fica:
Onde o parâmetro está entre:
E o vetor ? Bom, ele é a derivada de :
Beleza!
Passo 3
Já encontramos , então falta encontrarmos nosso vetor Vamos ver agora a força! No enunciado diz que ela é constante, então podemos supor que suas componentes são, por exemplo, e :
Legal! O próximo passo é fazer o produto escalar entre e (pois é o integrando do trabalho!):
Certo! Agora já podemos colocar na integral e calcular!
Passo 4
Calculando nossa integral do trabalho.
Integrando, temos:
Aplicando os limites de integração:
Finalmente, provamos o que o enunciado pediu:
Show! É exatamente esse resultado que esperávamos! Vamos pra próxima letra?
Passo 5
E derivando o vetor :
A força que agora é um pouco diferente, como o enunciado pediu. Vai ser:
E na variável de parametrização ela fica:
Passo 3
Legal! O próximo passo é fazer o produto escalar entre e :
Multiplicando componente por componente e somando:
Certo! Agora já podemos colocar na integral e calcular!
A integral de zero é zero!
E a resposta é: sim! É verdadeiro!