6 - A base do sólido é a região limitada pela parábola y^2 = 4x e pela reta x = 1 no plano xy. Cada seção transversal perpendicular ao eixo x é um triângulo equilátero com um lado no plano. (Todos os triângulos estão situados no mesmo lado do plano.)

Passo 1

Observe a imagem abaixo:

Observe a imagem gerada pelo encontro das curvas e ao lado a plotagem do sólido de revolução.

Para calcular o volume usaremos:

V =   ∫ a b A x d x

Convertendo os diâmetros teremos:

x 2 = 4 y ⇒ y = x 2 4

y 2 = 4 x → y = 4 x ⇒ y = 2 x

A x = 1 2 b o r d a 2 ⋅ s e n π 3

A x = 3 4 2 x - - 2 x 2

A x = 3 4 2 x + 2 x 2

A x = 3 4 16 x

A x = 16 x 3 4 = 4 x 3

Os limites de integração pelo enunciado é a = 0   e   b = 1 .

Passo 2

Inserindo na integral, dado pela figura os limites de integração: a = 0   e   b = 1 .

∫ 0 1 4 3 x   d x = 4 3 ∫ 0 1 x   d x

Resolvendo a integral teremos:

V = 4 3   x 2 2 0 1

Inserindo assim os limites de integração:

V =   4 3 1 2 2 - 0 = 4 3 2

V = 2 3   u . v .

Resposta

2 3   u . v .

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