2. Deduza a fórmula para o volume de um cone circular reto com h unidades de altura e a unidades de raio da base, usando um corte.

Passo 1

Vamos usar o teorema 6.1.2 para calcular o volume a partir de um corte do sólido.

Passo 2

Pelo teorema 6.1.2...

V = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n A ξ i ∆ i x = π ∫ a b A x d x

Então precisamos achar a área do corte em função de x , aí aplicamos na definição.

Passo 3

O elemento de volume do nosso disco de cone está a x unidades distante do centro.

O raio desse disco será a w / h , porque será uma fração infinitesimal w do raio a dependente da altura h .

A área será π r 2 , então

á r e a   d i s c o = π a 2 w 2 / h 2

Passo 4

Aplicando a fórmula da definição:

V = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n A ξ i ∆ i x = π ∫ a b A x d x

V = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n π a 2 w 2 h 2 ∆ i x

Sabemos que x vai de 0 à h , pois quando x = h temos que o raio do disco é o raio do cone ( a ) .

Podemos substituir w por x e jogar na integral...

V = π ∫ a b A x d x = π ∫ 0 h π a 2 x 2 h 2 d x

V = π a 2 x 3 3 h 2 0 h = π a 2 h 3

Resposta

V = π a 2 x 3 3 h 2 0 h = π a 2 h 3

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