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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 10

Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.

10- A base do sólido é o disco x 2 + y 2 ≤ 1 . As seções transversais por planos perpendiculares ao eixo y entre y = - 1 e y = 1 são triângulos retângulos isósceles com um cateto no disco.

Passo 1

Calculando a área do triângulo retângulo pode ser dada por:

A = 1 2 × c a t e t o 1 × c a t e t o 2

Como é um triângulo retângulo é isósceles logo os dois catetos são iguais:

A = 1 2 × c a t e t o 2

Passo 2

E para encontrar o comprimento do cateto inicialmente precisamos entender o comportamento da relação do cateto com o círculo e com isso conseguimos ver que a posição dos limites dessa reta são simétricas. E pela equação do círculo conseguimos tirar o comprimento desse cateto, o comprimento pode ser tirado por:

c = x - ( - x ) = 2 x

E da equação do círculo, temos:

y 2 + x 2 = 1

x 2 = 1 - y 2

x = 1 - y 2

Comprimento do cateto:

2 × 1 - y 2

Logo a área do cateto:

A = 1 2 ( 4 ( 1 - y 2 )

A = 2 ( 1 - y 2 )

Passo 3

Como y varia de -1 a 1 logo fazendo a integral dessa área nos dará o volume:

∫ A = 2 ∫ - 1 1 1 - y 2 d y

V = 2 y - y 3 3 - 1 1

V = 2 1 - 1 3 - 2 - 1 + 1 3

V = 4 3 + 4 3

V = 8 3

Resposta

V = 8 3

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