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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 5

Uma bola é atirada no ar com uma velocidade de 40   p é s / s , e sua altura em pés após t segundos é dada por y = 40 t - 16 t 2 .

  1. Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quando t = 2 e dura de:

    2. i 0,5 s ,     i i 0,1 s ,     i i i 0,05 s ,     i v 0,01 s

  2. Encontre a velocidade instantânea quando t = 2 .

Passo 1

Opa, galerinha!

O enunciado fala de uma bola que é jogada a uma velocidade de 40   p é s / s . Temos uma formulinha pra nos dá a altura da bola em função do tempo:

y = 40 t - 16 t 2

A partir dessas informações queremos saber:

Na letra (a) a gente deve encontrar a velocidade média para algumas variações de tempo a partir de t = 2 s :

i   0,5   s

i i   0,1   s

i i i   0,05   s

i v   0,01   s

E no item b) queremos descobrir a velocidade instantânea em t = 2 s .

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver o item a) podemos calcular a velocidade média a partir da variação do espaço em razão da variação do tempo.

v m e d = ∆ y ∆ t = y 2 + h - y 2 2 + h - 2

Onde h é a variação de tempo dada no enunciado.

Para resolver o item b) temos que fazer h tender a 0 em v m e d .

lim h → 0 ⁡ v m e d

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor de y 2

Quando t = 2 nossa função dada no enunciado terá valor

y 2 = 40 · 2 - 16 · 2 2 = 16

Já quando t = 2 + h , temos que y é dado por

y 2 + h = 40 · 2 + h - 16 · 2 + h 2

y 2 + h = 80 + 40 h - 16 · 4 + 4 h + h 2

y 2 + h = 80 + 40 h - 64 + 64 h + 16 h 2

Simplificando na forma polinomial...

y 2 + h = - 16 h 2 - 24 h + 16

Sendo assim, a velocidade média entre 2 e 2 + h será:

v m e d = y 2 + h - y 2 2 + h - 2 = - 16 h 2 - 24 h + 16 - 16 2 + h - 2

v m e d = - 16 h 2 - 24 h h

Perceba que podemos simplificar h no numerador e no denominador...

v m e d = h - 16 h - 24 h

v m e d = - 16 h - 24

Bacana, não é?

Passo 3

Agora nosso único trabalho será substituir h na equação de v m e d ...

Resolvendo o item a) para i h = 0,5 s , temos

v m e d , 0,5 s = - 16 0,5 - 24

v m e d , 0,5 s = - 32   p é s / s

Para i i h = 0,1 s

v m e d , 0 , 1 s = - 16 0 , 1 - 24

v m e d , 0,1 s = - 25,6   p é s / s

Agora para i i i h = 0,05 s ...

v m e d , 0 , 05 s = - 16 0 , 05 - 24

v m e d , 0,05 s = - 24,8   p é s / s

Por último, para i v h = 0,01 s ...

v m e d , 0,0 1 s = - 16 0,0 1 - 24

v m e d , 0,01 s = - 24,16   p é s / s

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora, para resolver o item b) calculamos a velocidade instantânea quando t = 2 s fazendo h tender a 0 na fórmula da velocidade média.

v t = 2 s = - 24 - 16 0

v t = 2 s = - 24   p é s / s

Prontinho! O que achou? Responde Aí!

Resposta

(a)

v m e d , 0,5 s = - 32   p é s / s

v m e d , 0,1 s = - 25,6   p é s / s

v m e d , 0,05 s = - 24,8   p é s / s

v m e d , 0,01 s = - 24,16   p é s / s

b)

A velocidade instantânea quando t = 2 é - 24   p é s / s

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