Nos exercícios de 13 a 20, ache uma equação da reta tangente a curva dada, no ponto indicado. Faça um esboço da curva com a reta tangente e a reta norma.

18) y = 2x - x^3; (-2,4)

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = 2 x - x 3 , temos:

f x 1 + ∆ x = 2 x 1 + ∆ x - x 1 + ∆ x 3 e

f x 1 = 2 x 1 - x 1 3

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 1 + ∆ x - x 1 + ∆ x 3 - [ 2 x 1 - x 1 3 ] ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

m x 1 = 2 - 3 x 1 2

Substituindo o x do ponto:

m - 2 = - 10

Passo 2

Agora para encontrarmos a equação da reta tangente no ponto dado, utilizamos a equação fundamental da reta:

y - y p = m . ( x - x p )

Substituindo o coeficiente angular e o ponto dado, temos:

y - 4 = - 10 . x + 2

Colocando no formato de equação geral da reta, temos:

10 x + y + 16 = 0

Passo 3

Agora faremos o esboço do gráfico com a reta tangente e a reta normal no ponto dado é:

Resposta

Equação da reta tangente:

10 x + y + 16 = 0

Gráfico:

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Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto dado:y = raiz(x, 4), (1,1)
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dadoy = x^4 + x^2 - x, 1,2
51. Ache os pontos sobre a curva y = 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1 onde a tangente é horizontal.
Quais são os valores de x para os quais o gráfico f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3 tem tangentes horizontais ?
Mostre que a curva y = 6 * x^3 + 5 * x - 3 não possui reta tangente com inclinação igual a 4 .