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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 3

Nos exercícios de 1 a 6, ache a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ( x 1 , y 1 ) . Faça uma tabela de valores de x, y e m no intervalo fechado [ a , b ] e inclua na tabela os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente em cada ponto colocado no gráfico.

3)   y = - 2 x 2 + 4 x ; a , b = [ - 1,3 ]

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = = - 2 x 2 + 4 x , temos:

f x 1 + ∆ x = - 2 x 1 + ∆ x 2 + 4 ( x 1 + ∆ x ) e

f x 1 = x 1 2 + 4 x 1

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ = - 2 x 1 + ∆ x 2 + 4 ( x 1 + ∆ x )   - - 2 x 1 2 + 4 ( x 1 ) ∆ x

Desenvolvendo o produto notável teremos:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ - 4 x 1 ∆ x + 4 ∆ x - 2 ∆ x 2 ∆ x

Simplificando:

m x 1 = - 4 x 1 + 4

Passo 2

Agora apresentaremos uma tabela com alguns valores de x, y e m no intervalo [ - 1,3 ]

Passo 3

Agora faremos o esboço do gráfico, destacando retas tangentes nos pontos escolhidos.

Resposta

Inclinação da reta tangente: m x 1 = - 4 x 1 + 4

Tabela de valores de x, y e m:

Gráfico:

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