Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 76
Um carro é freado com uma desaceleração constante de 16 pés/s², produzindo marcas de derrapagem medindo 200 pés antes de parar completamente. Quão rápido estava o carro viajando quando o freio foi acionado pela primeira vez?
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão diz pra gente que um carro é freado com uma desaceleração constante de 16 pés/s², produzindo marcas de derrapagem medindo 200 pés antes de parar completamente.
Teremos que descobrir o quão rápido estava o carro viajando quando o freio foi acionado pela primeira vez.
Ou seja, precisaremos encontrar uma função que descreve a velocidade do carro para essa situação e depois descobrir qual era o valor dessa velocidade para o instante .
Para isso, vamos pensar da seguinte forma:
Temos uma aceleração constante durante a frenagem do carro.
Se o sentido de movimento do carro for positivo, então a função da aceleração (negativa) é dada, em pés/s²:
Como a aceleração é a segunda derivada da posição , podemos aplicar a antiderivada duas vezes para encontrar a função da posição, primeiro achando a velocidade e depois a própria função .
Então aplicamos as condições dadas pelo enunciado para encontrar a velocidade inicial.
Sendo a posição inicial zero:
temos pelo enunciado que a posição final é
sendo o tempo de frenagem.
Além disso, a velocidade final é zero:
Nosso trabalho é então encontrar a velocidade inicial
Vamos nessa!
Passo 2
Encontramos então primeiramente a antiderivada da aceleração para encontrar a função da velocidade. Temos:
Como :
Como :
Passo 3
Com a função da velocidade, agora achamos a função da posição através de sua antiderivada:
Aplicando a condição inicial , encontramos a constante :
Finalmente, aplicamos a condição final da posição, :
Mas já calculamos que , então:
Então, fazendo a raiz quadrada encontramos :