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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.9 - Ex. 23a

23. Use as definições das funções hiperbólicas para achar os seguintes limites.

(a) lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x

(b) lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x

(c) lim x → ∞ ⁡ senh ⁡ x

(d) lim x → - ∞ ⁡ senh ⁡ x

(e) lim x → ∞ ⁡ sech ⁡ x

(f) lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x

(g) lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x

(h) lim x → 0 - ⁡ cotgh ⁡ x

(i) lim x → - ∞ ⁡ cossech ⁡ x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver esses limites.

Nesta letra, iremos utilizar das definições das funções hiperbólicas para que a partir disso, calcularmos os limites pedidos.

A gente sabe que a tangente hiperbólica é:

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x

E substituindo pela definição de seno e cosseno hiperbólico fica:

tgh ⁡ x = e x - e - x 2 e x + e - x 2

Simplificando a divisão por 2:

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Uhuul! Agora vamos ao limite.

Passo 2

Aplicando o limite:

lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ e x - e - x e x + e - x

Para simplificar essa expressão podemos multiplicar em cima e embaixo por e - x :

lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ e x - e - x e x + e - x ⋅ e - x e - x

lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ 1 - e - 2 x 1 + e - 2 x

Substituindo por infinito, não que infinito seja um número, mas é apenas para que você visualize melhor:

lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x = 1 - e - 2 ∞ 1 + e - 2 ∞

lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x = 1 - 0 1 + 0

lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x = 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x = 1

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