Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 31
Uma bola é lançada para o ar para leste a partir da origem (na direção do eixo positivo). A velocidade inicial é , com a velocidade medida em pés por segundo. A rotação da bola resulta em uma aceleração ao sul de , de modo que o vetor aceleração é . Onde a bola cai e com que velocidade escalar?
Passo 1
Fala galerinha. De boa?
O objetivo desta questão é determinar o ponto de impacto e a velocidade escalar de uma bola lançada no ar, dada a sua velocidade inicial e aceleração. A bola é lançada para o leste a partir da origem com uma velocidade inicial de pés por segundo. A rotação da bola resulta em uma aceleração ao sul de 4 pés/s² e uma aceleração vertical para baixo de 32 pés/s², resultando em um vetor aceleração .
Separei alguns passos para resolvermos
- Podemos determinar o vetor posição através da função horária da posição no MRUV
- Para saber a posição de queda no instante , temos que substituir o tempo na equação da posição.
- Para saber o vetor velocidade precisamos derivar o vetor posição
- Para saber a velocidade escalar na queda, basta calcular o módulo da velocidade.
Prontinho! Agora é só resolver.
Passo 2
Precisamos obter uma função vetorial que descreva a posição da nossa bola. Para isso, será necessário relembrar das equações da cinemática.
Observem inicialmente que a aceleração da bola é constante. Por causa disso, temos um movimento retilíneo uniformemente variável. A função posição de uma partícula qualquer é descrita a partir da seguinte equação:
Em que é a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração dela. Como temos uma bola se movimentando no , temos três componentes da posição. Por isto, temos a seguinte função vetorial para descrever o movimento da nossa partícula.
Passo 3
Para descobrirmos aonde a bola cai, precisamos descobrir inicialmente em que tempo a partícula terá coordena , na direção do vetor , nula. Portanto, basta resolver a seguinte equação:
Como o tempo só pode ser positivo, temos . Para descobrirmos a sua posição, basta substituir o seu valor na função posição. Logo,
Passo 4
Para determinarmos a velocidade da bola, precisamos determinar primeiro qual a sua velocidade. Para isso, basta derivarmos a função posição. Desta forma, temos:
Substituindo o valor , temos:
Agora, basta tirar o módulo deste vetor. Logo,