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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 24

Mostre que kappa e tau são ambos zero para a reta

r (t) = (x_0 + A t) i + (y_0 + B t) j + (z_0 + C t) k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar que

r (t) = (x_0 + A t) i + (y_0 + B t) j + (z_0 + C t) k

A fórmula para kappa é dada por

kappa = (1)/(|v|) * (d T)/(d t)

Como nós sabemos que v = r ' ( t ) , então v = A i + B j + C k , então nós temos que

|v| = sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Passo 2

Nós sabemos que T = (v)/(|v|) então

T = (A i + B j + C k)/(sqrt(A^2 + B^2 + C^2))

Com isso, temos a seguinte derivada

|(d T)/(d t)| = |(1)/(sqrt(A^2 + B^2 + C^2)) * (0 * i + 0 * j + 0 * k)| = 0

Com isso, kappa é igual a

kappa = (1)/(|v|) * 0 = 0

Já a fórmula para tau é dada por

tau = (d B)/(d s) * N

Com isso, já podemos calcular tau

tau = (d B)/(d s) * 0 = 0

Resposta

(d T)/(d t) = 0 -> tau = 0 , kappa = 0

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