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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 20

Um objeto de massa m se move ao longo da parábola y = x 2 com um módulo de velocidade constante de 10 unidades/s. Qual é a força sobre o objeto decorrente de sua aceleração em ( 0,0 ) ? E em ( 2 1 2 , 2 ) ? Escreva suas respostas em termos de i e j. (Lembre-se da lei de Newton, F = m a .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos que a aceleração pode ser escrita da seguinte forma

a = a T T + a N N

Desenvolvendo a fórmula

a = d v d t T + κ v 2 N

Como a velocidade é constante e igual a 10, logo

a = 0 + 100   κ N

Agora, vamos calcular o κ

Passo 2

Como y = x 2 e v = 10 , r = x i + x 2 j ,     v = x ' i + 2 x ∙ x ' j e v = x ' 1 + 4 x 2 → x ' = 10 1 + 4 x 2   1 , nós temos que

T = v v

Expandindo a fórmula

T = i + 2 x j 1 + 4 x 2

Derivando

T ' = 2 j 1 + 4 x 2 - 8 x i + 16 x 2 j 2 1 + 4 x 3 2 ∙ x ' = - 2 x i + j 1 + 4 x 2 3 2 ∙ 2 x '

E com isso, o módulo será igual a

T ' = 2 x ' ∙ - 2 x i + j 1 + 4 x 2 3 2 = 2 x ' 1 + 4 x 2

Com isso, N tem o seguinte resultado

N = T ' T ' = - 2 x i + j 1 + 4 x 2

Passo 3

Logo, κ será igual a

κ = 1 v ∙ T ' = 2 1 + 4 x 2 3 2

Voltando para a

a = 100 2 1 + 4 x 2 3 2 = - 2 x i + j 1 + 4 x 2 ∙

Simplificando as coisas,

a = 100 - 4 x i + 2 j 1 + 4 x 2 2

Por Newton, F = m a , então vamos usar este fato para calcular a força

F = m a = 100 m - 4 x i + 2 j 1 + 4 x 2 2

Quando F ( 0,0 ) temos que

F 0,0 = 200 m j

E para F 2 , 2 = 100 m ∙ - 4 2 i + 2 j 81

Resposta

F 0,0 = 200   m j

F 2 , 2 = 100 m ∙ - 4 2 i + 2 j 81

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