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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 8

Nos Exercícios 7 e 8, encontre r , T , N e B no valor dado de t. Em seguida, encontre equações para os planos osculador, normal e retificador naquele valor de t.

7. r t = cos ⁡ t i + sen ⁡ t j + k ,     t = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, temos que r no ponto 0 é igual a

r 0 = cos ⁡ 0 i + sen ⁡ 0 j + k

Nós sabemos que cos ⁡ 0 = 1 e sen ⁡ ( 0 ) = 0 , com isso,

r 0 = i

Para o caso de T ( t ) , temos a seguinte fórmula

T t = v v = - sen ⁡ t i + cos ⁡ t j + k 2   ( 1 )

Logo, fazendo a substituição,

T t = j + k 2

E para N

N = T ˙ T ˙ = - cos ⁡ t i + sen ⁡ t j   2

Novamente, trocando os termos

N 0 = - i

Mas e o B ? Esse termo é basicamente o produto vetorial entre T e N , com isso

B ( 0 ) = i j k - sen ⁡ 0 cos ⁡ 0 0 - cos ⁡ 0 - sen ⁡ 0 0 = - j 2 + k 2

Passo 2

Como a normal ao plano osculador em t = 0 é B = - j + k 2 e o ponto 1,0 , 0 reside nele, podemos obter sua equação, pois o plano seguinte é

P : 0 ∙ x - 1 - 1 2 ∙ y - 0 + 1 2 z - 0 = 0

Portanto,

P : y = z

Como a normal ao plano normal em t = 0 é T 0 = j + k 2 e o ponto 1,0 , 0 reside nele, podemos obter sua equação, pois o plano seguinte é

P : 0 ∙ x - 1 + 1 2 ∙ y - 0 + 1 2 z - 0 = 0

Portanto,

P : y = - z

Como a normal ao plano retificador em t = 0 é N 0 = - i e o ponto ( 1,0 , 0 ) reside nele, podemos obter sua equação, pois o plano seguinte é

P : - 1 ∙ x - 1 - 0 ∙ y - 0 - 0 ∙ z - 0 = 0

Portanto,

P : x = 1

Resposta

r 0 = i

  T 0 = j + k 2  

  N 0 = - i

B 0 = - j + k 2

P o s c u l a n t e : y = z

P n o r m a l : y = - z

P r e t i f i c a d o r : x = 1

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