Se uma bola de metal de massa m for lançada na água e a força de resistência for proporcional ao quadrado da velocidade, então a distância que a bola percorreu até o instante t é dada por

s(t) = m / c * ln(cosh(raiz(gc / mt)))

em que c é uma constante positiva. Encontre lim_{c → 0+} s(t) .

Passo 1

Falaaaa moçadinha, show de bola?

Como diz o Homem de ferro “Eu tenho um plano. Ataque!”

Bora atacar esse problemaaaaaaa junto comigoo.

A questão quer que encontremos o limite da função s ( t ) que representa a distância que uma bola de metal percorre na água em função do tempo t , quando a constante   c   tende a zero pelo lado positivo ( c → 0 + ).

Para resolver essa questão, precisamos aplicar conceitos de limite em funções, especificamente no comportamento da função logaritmo natural e da função hiperbólica quando a constante c tende a zero.

A fórmula dada para a distância s t   é:

s t = m c ln ⁡ cosh ⁡ g c m t

Vamos rever as fórmulas importantes e as teorias necessárias para resolver o problema:

Função hiperbólica cosseno c o s h :

cosh ⁡ ( x ) = e x - e - x 2

Logaritmo natural ( l n ) :

      l n 1 =   0  

l n a b =   l n a + ln ⁡ b

Propriedades de limites:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x = x

lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ ( x ) = 1 + x 2 2

Passo 2

A função dada é:

s t = m c ln ⁡ cosh ⁡ g c m t

Queremos encontrar o limite dessa função quando c tende a zero positivo c → 0 + .

Primeiro, precisamos simplificar o argumento do logaritmo usando a aproximação de cosh ⁡ ( x ) para valores pequenos de x .

Primeiramente, analisamos o argumento da função cosseno hiperbólica quando c tende a zero:

x = g c m t

Quando c é muito pequeno, x também será muito pequeno.

Para valores pequenos de x :

cosh ⁡ ( x ) ≈ 1 + x 2 2

Substituindo x na aproximação:

cosh ⁡ g c m t ≈ 1 + g c m t 2 2

= 1 + g c 2 m t

Passo 3

Agora, aplicamos o logaritmo natural:

ln ⁡ cosh ⁡ g c 2 m t

≈ ln ⁡ 1 + g c 2 m t

Para

(   c → 0 ) ,     g c 2 m t

Será muito pequeno e podemos usar a aproximação do logaritmo natural:

l n 1   +   x ≈ x ,     q u a n d o     x   → 0   ]

Assim,

ln ⁡ 1 + g c 2 m t ≈ g c 2 m t

Agora substituímos isso na função s t :

s t ≈ m c ⋅ g c 2 m t

= g 2 t

Passo 4

Portanto, ao tomarmos o limite quando c → 0 + :

lim c → 0 + ⁡ s ( t ) = lim c → 0 + ⁡ g 2 t = g 2 t

Então, o resultado final é:

lim c → 0 + ⁡ s ( t ) = g 2 t

Essa é a distância percorrida pela bola no instante t quando a constante de resistência c , tende a zero.

“Às vezes é preciso aprender a correr antes de começar a andar”

Resposta

lim c → 0 + ⁡ s ( t ) = g 2 t

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