Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 78
Se uma bola de metal de massa for lançada na água e a força de resistência for proporcional ao quadrado da velocidade, então a distância que a bola percorreu até o instante é dada por
em que é uma constante positiva. Encontre .
Passo 1
Falaaaa moçadinha, show de bola?
Como diz o Homem de ferro “Eu tenho um plano. Ataque!”
Bora atacar esse problemaaaaaaa junto comigoo.
A questão quer que encontremos o limite da função que representa a distância que uma bola de metal percorre na água em função do tempo quando a constantetende a zero pelo lado positivo ).
Para resolver essa questão, precisamos aplicar conceitos de limite em funções, especificamente no comportamento da função logaritmo natural e da função hiperbólica quando a constante tende a zero.
A fórmula dada para a distância é:
Vamos rever as fórmulas importantes e as teorias necessárias para resolver o problema:
Função hiperbólica cosseno :
Logaritmo natural
Propriedades de limites:
Passo 2
A função dada é:
Queremos encontrar o limite dessa função quando tende a zero positivo .
Primeiro, precisamos simplificar o argumento do logaritmo usando a aproximação de para valores pequenos de
Primeiramente, analisamos o argumento da função cosseno hiperbólica quando tende a zero:
Quando é muito pequeno, também será muito pequeno.
Para valores pequenos de
Substituindo na aproximação:
Passo 3
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
Para
Será muito pequeno e podemos usar a aproximação do logaritmo natural:
Assim,
Agora substituímos isso na função
Passo 4
Portanto, ao tomarmos o limite quando
Então, o resultado final é:
Essa é a distância percorrida pela bola no instante quando a constante de resistência tende a zero.
“Às vezes é preciso aprender a correr antes de começar a andar”
