Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 39
Se a função for definida por
demonstre que não existe.
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão foi dada uma função:
E devemos demonstrar que o limite não existe.
Parece intuitivo que esse limite realmente não deve existir pois perto do zero existem tanto números racionais como irracionais tão próximo de zero quanto se queira tomar, ou seja, a função fica oscilando “loucamente” entre e .
Mesmo sendo algo intuitivo, devemos provar isso rigorosamente usando a definição de limite, que diz que:
se, e somente se, para todo , existe um tal que se , então .
Eu sei que você deve estar achando isso extremamente complicado e esquisito, mas basicamente, o que a defini��ão diz é que para qualquer número positivo eu devo conseguir encontrar um (que possivelmente será função de ) tal que
Como queremos provar que o limite não existe, vamos supor que ele existe e tentar chegar em alguma contradição.
Passo 2
Antes de qualquer coisa, vamos adaptar a definição de limite para o nosso caso. Para provar que o limite existe e vale , para todo , devo conseguir encontrar um tal que
Como estamos supondo que o limite existe e vale , a relação acima é válida para todo . Vamos ver então o que acontece com um particular (se vale para todos, deve valer para algum). Tomemos então . Assim, deve existir um tal que
Passo 3
Assim, para todo entre e , deve estar entre e . Bom, agora vem o pulo do gato. Observe a parte que eu grifei no período anterior: “para todo ”, ou seja, pode ser racional ou irracional.
Vamos tomar um em particular que seja racional, assim, e como , temos que , de modo que .
Por outro lado, podemos tomar um que seja irracional, de modo que . Como , temos que , de modo que .
Ora, como pode ser maior e menor que ao mesmo tempo? É óbvio, ele não pode!!! Essa é a contradição que precisávamos: provamos assim que o limite não existe!!!
Resposta
Demonstração.