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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 76

Qual deles está correto e qual está incorreto? Justifique sua

resposta.

  1. l i m x → 0 x 2 - 2 x x 2 - s e n   x = l i m x → 3 2 x - 2 2 x - c o s   x = l i m x → 3 2 2 - s e n   x = 2 2 - 0 = 1

  2. l i m x → 0 x 2 - 2 x x 2 - s e n   x = l i m x → 3 2 x - 2 2 x - c o s   x = 2 ⋅ 0 - 2 2 ⋅ 0 - c o s   0 = - 2 - 1 = 2

Passo 1

Vamos avaliar o que foi feito na letra a. Aplicou-se duas vezes a regra de L’Hopital, assim:

  1. l i m x → 0 x 2 - 2 x x 2 - s e n   x = l i m x → 0 d d x x 2 - 2 x d d x x 2 - s e n   x = l i m x → 0 d d x x 2 - d d x 2 x d d x x 2 - d d x s e n   x = l i m x → 0 2 x - 2 2 x - c o s   x =

    2. l i m x → 3 2 x - 2 2 x - c o s   x = l i m x → 0 d d x 2 x - 2 d d x 2 x - c o s   x = l i m x → 0 d d x 2 x - d d x 2 d d x 2 x - d d x c o s   x = l i m x → 0 2 - 0 2 + s e n   x = 2 2 + s e n   0 = 1

    Contudo, esse resultado está errado. Veremos isso no passo 2, quando avaliarmos a letra b).

    Passo 2

    Vamos avaliar o que foi feito na letra b. Fazendo a regra de L’Hopital uma vez temos:

  2. l i m x → 0 x 2 - 2 x x 2 - s e n   x = l i m x → 0 d d x x 2 - 2 x d d x x 2 - s e n   x = l i m x → 0 d d x x 2 - d d x 2 x d d x x 2 - d d x s e n   x = l i m x → 0 2 x - 2 2 x - c o s   x = 2 ⋅ 0 - 2 2 ⋅ 0 - c o s   0 = - 2 - 1 = 2

Esse resultado não é uma indeterminação do tipo 0/0, ∞ / ∞ , 0. ∞ . Logo o l i m possui valor determinado, e não se faz necessário usar outra regra de L’Hopital para achar a resposta como foi visto na letra a.

Resposta

Logo a resolução em b) está correta e a resposta em a) está errada.

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Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 1 ⁡ 1 - x + ln ⁡ x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ x - sen ⁡ x x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ sen - 1 ⁡ x x