Qual deles está correto e qual está incorreto? Justifique sua

resposta.

  1. lim(x→0) (x^2 - 2x) / (x^2 - sen x) = lim(x→3) (2x - 2) / (2x - cos x) = lim(x→3) (2) / (2 - sen x) = 2 / (2 - 0) = 1
  2. lim[x→0] (x^2 - 2x) / (x^2 - sen x) = lim[x→3] (2x - 2) / (2x - cos x) = (2⋅0 - 2) / (2⋅0 - cos 0) = -2 / -1 = 2

Passo 1

Vamos avaliar o que foi feito na letra a. Aplicou-se duas vezes a regra de L’Hopital, assim:

  1. l i m x → 0 x 2 - 2 x x 2 - s e n   x = l i m x → 0 d d x x 2 - 2 x d d x x 2 - s e n   x = l i m x → 0 d d x x 2 - d d x 2 x d d x x 2 - d d x s e n   x = l i m x → 0 2 x - 2 2 x - c o s   x =
  2. l i m x → 3 2 x - 2 2 x - c o s   x = l i m x → 0 d d x 2 x - 2 d d x 2 x - c o s   x = l i m x → 0 d d x 2 x - d d x 2 d d x 2 x - d d x c o s   x = l i m x → 0 2 - 0 2 + s e n   x = 2 2 + s e n   0 = 1

    Contudo, esse resultado está errado. Veremos isso no passo 2, quando avaliarmos a letra b).

    Passo 2

    Vamos avaliar o que foi feito na letra b. Fazendo a regra de L’Hopital uma vez temos:

  3. l i m x → 0 x 2 - 2 x x 2 - s e n   x = l i m x → 0 d d x x 2 - 2 x d d x x 2 - s e n   x = l i m x → 0 d d x x 2 - d d x 2 x d d x x 2 - d d x s e n   x = l i m x → 0 2 x - 2 2 x - c o s   x = 2 ⋅ 0 - 2 2 ⋅ 0 - c o s   0 = - 2 - 1 = 2

Esse resultado não é uma indeterminação do tipo 0/0, / , 0. . Logo o l i m possui valor determinado, e não se faz necessário usar outra regra de L’Hopital para achar a resposta como foi visto na letra a.

Resposta

Logo a resolução em b) está correta e a resposta em a) está errada.

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