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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 77

Apenas um desses cálculos está correto. Qual? Por que os outros

estão errados? Justifique sua resposta.

  1. l i m x → 0 + x ⋅ l n   x = 0 ⋅ - ∞ = 0

  2. l i m x → 0 + x ⋅ l n   x = 0 ⋅ - ∞ = - ∞

  3. l i m x → 0 + x ⋅ l n   x = l i m x → 0 + l n   x 1 x ⋅ = - ∞ ∞ = - 1

  4. l i m x → 0 + x ⋅ l n   x = l i m x → 0 + l n   x 1 x ⋅ = l i m x → 0 + 1 x ⋅ - 1 x 2 ⋅ = l i m x → 0 + - x = 0

Passo 1

Vamos avaliar o que foi feito na letra a. Substitui aqui o valor de 0 no limite. Assim:

  1. l i m x → 0 + x ⋅ l n   x = 0 ⋅ - ∞ = 0

    2. O problema aqui é o valor de 0 ⋅ - ∞ , no qual seu resultado não é um valor determinado. Assim teremos uma indeterminação e não podemos resolver esse limite.

    Passo 2

    Vamos avaliar o que foi feito na letra b. Aqui vemos que o limite foi substituído por seu valor, assim:

  2. l i m x → 0 + x ⋅ l n   x = 0 ⋅ - ∞ = - ∞

    3. Esse resultado não é verdade, visto que 0 ⋅ - ∞ é uma indeterminação, como nós reparamos na letra a). Assim esse limite não pode ser resolvido.

    Passo 3

    Vamos avaliar o que foi feito na letra c. Aqui vemos que o limite foi substituído por seu valor, assim:

  3. l i m x → 0 + x ⋅ l n   x = l i m x → 0 + l n   x 1 x = - ∞ ∞ = - 1

    4. Esse resultado não é verdade, visto que - ∞ ∞ é uma indeterminação, como nós reparamos na letra a) e b). Assim esse limite não pode ser resolvido.

    Passo 4

    Vamos avaliar o que foi feito na letra d. Aqui vemos que foi aplicado a regra de L’Hopital quando nos deparamos com uma indeterminação ∞ ∞ . Assim:

  4. l i m x → 0 + x ⋅ l n   x = l i m x → 0 + l n   x 1 x ⋅ = l i m x → 0 + d d x l n   x d d x 1 x ⋅ = l i m x → 0 + 1 x ⋅ - 1 x 2 ⋅ = l i m x → 0 + - x = 0

Aqui a regra de L’Hopital é usada corretamente, sendo a única letra correta.

Resposta

Logo a resolução em d) está correta e a resposta em a), b) e c) estão erradas.

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