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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 89b

Extensão contínua de s e n x x para (0, π )

b. Verifique sua conclusão no item (a) usando a regra de l'Hôpital para determinar l i m x → 0 + f .

Passo 1

Substituindo o limite, obtemos como resultado uma indeterminação do tipo 0 0 :

l i m x → 0 + s i n   x x = 0 0

Contudo, podemos reescrever o l i m de outra forma. Vamos fazer uma troca de variável onde:

y = s i n   x x

Assim:

l i m x → 0 + s i n   x x = l i m x → 0 + y

Passo 2

Agora iremos trabalhar mais um pouco com nossa expressão em y . Temos que:

y = s i n   x x

Passando l n em ambos os lados, teremos que:

l n y = l n   s i n   x x → l n y = x l n   s i n   x

Passo 3

Aplicando o l i m x → 0 + l n y   teremos que:

l i m x → 0 + l n y = l i m x → 0 + x l n   s i n   x = l i m x → 0 + x 1 l n   s i n   x    

Passo 4

Substituindo o valor no limite, teremos uma nova indeterminação do tipo 0 0 :

l i m x → 0 + x 1 l n   s i n   x = - 0 1   ∞ = 0 0

Passo 5

Aplicando a regra de L`Hopital, teremos que:

l i m x → 0 + x 1 l n   s i n   x = l i m x → 0 + - d d x x d d x 1 l n   s i n   x = l i m x → 0 + 1 - l n - 2 s i n   x ⋅ c o s   x = - 1 0 =   - ∞

Passo 6

Substituindo o valor no limite, teremos que:

l i m x → 0 + x l n   s i n   x = - ∞

Logo:

l i m x → ∞ l n y = - ∞

Passo 7

Usando as seguintes propriedades:

a b = e b l n a e l i m x → w e b l n a = e l i m x → w b l n a

Então podemos reescrever a expressão l i m x → ∞ y como:

l i m x → ∞ y = l i m x → ∞ e l n y = e l i m x → 0 + l n y

Passo 8

Sabemos pelo passo 6 que:

l i m x → ∞ l n y = - ∞

Assim:

e l i m x → 0 + l n y = e - ∞

Resposta

l i m x → 0 + f = e - ∞ = 0

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