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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 4

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

sen ⁡ y - y sen ⁡ x d x + ( cos ⁡ x + x cos ⁡ y - y ) d y = 0

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, para que uma equação seja exata, precisamos que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos ver isso na nossa então. Lembrando que M é a parte que acompanha o d x e N o que acompanha o d y .

Passo 2

Na nossa temos:

∂ M ∂ y = cos ⁡ y - sen ⁡ x

∂ N ∂ x = - sen ⁡ x + cos ⁡ y

A equação então é exata! Vamos resolver...

Passo 3

Seguindo o esquema de resolver equações exatas, a primeira coisa que a gente faz é integrar M ( x , y ) em relação a x . Então bora!

∫ sen ⁡ y - y sen ⁡ x d x

x sen ⁡ y + y cos ⁡ x + g y               ( * )

(Não pode esquecer de somar essa função de y aí hein!)

Beleza, agora a gente vai derivar isso em relação a y :

x cos ⁡ y + cos ⁡ x + g ' ( y )

E agora a gente compara isso com N ( x , y ) :

cos ⁡ x + x cos ⁡ y - y = x cos ⁡ y + cos ⁡ x + g ' ( y )

g ' y = - y

Vamos integrar isso agora para descobrir quem é g ( y ) :

∫ - y   d y =   - y 2 2 = g ( y )

(a constante a gente vai colocar ali no final)

Passo 4

Beleza, agora já encontramos g ( y ) , vamos substituir lá em ( * ) e escrever da forma certinha, igualando a uma constante:

x sen ⁡ y + y cos ⁡ x + g y    

x sen ⁡ y + y cos ⁡ x - y 2 2 = c  

E assim chegamos à solução da equação!

Resposta

É exata.

Solução: x sen ⁡ y + y cos ⁡ x - y 2 2 = c  

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